刘徽与九章算术：数学家的故事

我国古代的数学成就在初中代数里,你肯定学过负数概念和正负数加减法的法则。并且你的计算可能相当熟练。然而,你是否知道,世界上是谁最早提出了负数概念和正负数的加减法法则吗?

在初中你应该也学过解一元一次方程,一元二次方程,二元一次方程组,三元一次方程组等等,各种类型的方程问题,名目繁多。但你可知道,“方程”这个名词究竟是怎么来的? 是谁在世界上最早提出了一次方程的定义和完整的解法?

早在两千多年以前,我国古代数学家就引进了负数概念和负数加减法法则。在《九章算术》和《方程》一章,有一个题是说“今有卖牛二、羊五,以买十三豕,有余钱一千；卖牛三,豕三,以买九羊,钱适足；卖羊六,豕八,以买五牛,钱不足六百。问牛、羊、豕价格几何?” “术曰:如方程,置牛二,羊五正,豕十三负,余钱数正；次置牛三正,羊九负,豕三正；次置牛五负,羊六正,豕八正,不足钱负。以正负术入之。”列成现代方程即为:

2x＋5y－13z＝1000

3x－9y＋3z＝0

1－5x＋6y＋8z＝－600

负数出现在各项系数及常数项中,这是第一次突破正数的范围。这在世界数学史上也是领先的。和古老的印度相比,公元7世纪印度婆罗门芨多的著作中才出现负数的概念。欧洲大约在17世纪才对负数有比较正确的认识。

我国古代数学家对负数的引进,有力地扩大了数的领域,是人类对数的认识过程中迈出的重要一步,这是中国古代数学家的一项杰出贡献。关于方程组的解法,也是我国古代数学最早提出的。比西方要早一千五百年,同样居世界领先地位。

注释《九章算术》

除此之外,还有很多数学问题的研究成果我国古代要比西方国家早几百年,并一直处于领先地位。我国古代数学家刘徽注释的《九章算术》便是当时的代表性著作。刘徽出生于公元3世纪(约225—295年),是魏晋时期一位杰出的数学家,是我国古代数学理论的奠基人。他主要是生活在三国时代的魏国,据查证可能是山东淄川一带人。他曾从事过度量衡考校工作,研究过天文历法,还进行过野外测量,但他主要还是进行数学研究工作。他反复地学习和研究了《九章算术》。263年,也就是距今1700年前的时候,他就全面系统地为《九章算术》注释了10卷。在刘徽的注解中,包含了他的许多天才性创见和补充,这是他一生中取得的最大的功绩。

《九章算术》是我国算经十书中最重要的一部,也是我国流传最早的数学著作之一。他不是一个人独立完成的作品,也不是在同一个时代里完成的。它系统地归纳了战国、秦、汉封建制从创立到巩固这一段时期内的数学成就。现在流传的《九章算术》是刘徽的注释本。

《九章算术》是以应用问题的形式表达出来的。一共收入了246个问题,按数学性质不同共分为九章:

第一章 “方田章”38 个问题。主要介绍田亩面积的计算。

第二章 “粟米章”46 个问题。主要讲解各种比例的算法。

第三章 “衰分章”20 个问题。是讨论按比例分配的问题。

第四章 “少广章”24个问题。是讲开平方、开立方的计算方法。

第五章“商功章”28个问题。是介绍各种形状的体积计算方法。

第六章“均输章”28 个问题。是讲如何按人口数量,路途远近等条件合理安排各地的赋税及分派工役等问题的计算方法。

第七章“盈不足章”20个问题。是讲解算术中盈亏问题的解法及比例问题。(www.xing528.com)

第八章“方程章”18个问题。是讲联立方程组的解法。

第九章“勾股章”24个问题。是讲应用勾股定理求解应用问题。

刘徽为《九章算术》作注释,不是简单的对一部古老数学专著的注解,而是把他自己的许多研究成果充实到了里边。他经过多年刻苦钻研,对“九章算术”中一些不完整的公式和定理作出了逻辑证明,对一些不是很明确的概念提出了确切而又严格的定义。他使中国古代的一部数学遗产变得更充实完整了。

刘徽对圆周率π 进行了研究。他否定古人在 《九章算术》中把圆周率π取作3的做法。他认为:用3表示π的值是极不精确的。“周三径一”仅是圆内接六边形的周长与圆径之比。他经过多年苦心钻研,创造出了科学的方法——割圆术。是以一尺(33厘米)为半径作圆,然后作这个圆的内接正六边形,逐倍增加边数,计算出正十二边形,正二十四边形,正四十八边形,正九十六边形,一直算到正一百九十二边形的面积,求出圆周率π等于3.141024,相当于3.14。后来人们为纪念刘徽的成就称此率为 “徽率”。刘徽这种让内接正多边形边数逐倍增加,边数越多,就越和圆周贴近的思想,在当时条件下是非常不简单的。显然他当时已有了“极限”的思想。这种思想方法是后来的数学家发现数学规律后,而经常采用的方法。

刘徽的一生刚直不阿,在任何条件下都敢于发表自己的见解,敢于修正前人的错误。他在研究数学的过程中,不仅重视理论研究,而且也很注意理论联系实际。他的治学精神是大胆、谨慎、认真。他对自己还没有解答的问题,把自己感到困难的地方老老实实地写出来,留待后人去解决。

刘徽分析了这个公式的不精确性,但他一时又解决不了。他说:“敢不厥疑以候能言者。”意思是:“我解决不了,留给以后的能人吧。”二百多年以后,祖日恒继承了其父祖冲之的事业,在刘徽研究的基础上,彻底精确地解决了球体积公式。

刘徽的成就

刘徽具有高度的抽象概括能力。他善于在深入实践的基础上精炼出一般的数学原理,并解决了许多重大的理论性问题。后人把刘徽的数学成就集中起来,认为他为我国古代数学在世界上取得了十个领先,它们是:

1)他最早提出了分数除法法则。

2)他最早给出最小公倍数的严格定义。

3)他最早应用小数。

4)他最早提出非平方数开方的近似值公式。

5)他最早提出负数的定义及加法法则。

6)他最早把比例和“三数法则”结合起来。

7)他最早提出一次方程的定义及完整解法。

8)他最早创造出割圆术,计算出圆周率即“徽率”。

9)他最早用无穷分割法证明了圆锥体的体积公式。

10)他最早创造 “重差术”,解决了可望不可及目标的测量问题。