商高定理:希腊邮票所揭示的数学故事

1955年希腊发行了一张邮票,图案像是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念2500年前希腊一个学术和宗教团体——毕达哥拉斯学派的成立以及在文化上的贡献。

这图案事实上就是数学上一个非常重要定理的证明。在中学几何里我们学到这个定理:“直角三角形的斜边的平方等于其他二边的平方的和。”就是这个图案所要表示的定理。

毕达哥拉斯(Pythagoras生于公元前572年? ——死于公元前492年?)是希腊的哲学家和数学家。出生在希腊撒摩亚(Samoa)地方的贵族家庭,年轻时曾到过埃及和巴比伦学习数学,游历了当时世界上两个文化水平极高的文明古国。

有一个希腊学者欧地姆斯(Eudemus)对于当时埃及的数学产生的情况这样写道:“几何是由于埃及人为了测量土地而发现的。这种测量是必要的,因为尼罗河时常泛滥,洪水把土地的边界冲坏。因此几何学这门数学就像其他科学是产生于人类的实际需要。所有的知识从粗糙的环境产生会逐渐完美化。人们最初是感性认识,可是它会变成我们默想的对象,最后进入知识的王国。”

毕达哥拉斯后来到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想,又和他的信徒们组成了一个所谓 “毕达哥拉斯学派”的政治和宗教团体。这学派和另外爱利亚学派同是古希腊最早的唯心论学派。

他们认为世界万物的本原并不是物质,而是一种抽象非物质的东西——数。他们认为数是独立存在,是决定客观世界的东西。数是在人类认识以前,先已存在。它是主宰万物的神。他们把数绝对化和神秘化,认为没有数,人就不能认识事物,也不能思考什么。整个宇宙是由数有秩序有规律的组成的。

毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点:因为他容许妇女(当然是贵族妇女而不是奴隶女婢)来听课。他认为妇女也是和男人一样在求知的权利上平等,因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所没有的现象。

传说他是一个非常优秀的教师,他认为每一个人都该懂些几何知识。有一次他看到一个勤勉的穷人,他想教他学习几何,因此对他建议:如果这人能学懂一个定理,那么他就给他一块钱币。这个人看在钱份上就和他学几何了,可是过了一个时期,这学生对几何这门数学引起极大的兴趣,反而要求毕达哥拉斯教快一些,并且建议:如果老师多教一个定理,他就给一个钱币。不需要多少时间,毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。

他在几何上的贡献相当多,如证明了直角三角形的三个内角和是180°。知道在三维空间正多面体只有五种。最著名的结果当然就是那个所谓“毕氏定理”了。传说当他得到了这个定理时,非常的高兴,杀了一头牛作为牺牲献给天神。(有些历史学家说是100头牛,这个代价可太大了!)

这个定理在数学上是基本的而且是非常重要的,是数学上有最多种不同证明的定理——有400多种证明! 我们在中学学习的证法就像那希腊邮票上所示,是最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城里,在一场城市暴动中,他被人暗杀掉。几年前我游历意大利时,到这个古山城去还看到他的坟墓,这坟墓就像中国的馒头式坟。2000多年过去了,这坟还保留下来,可见人们对这位学者的重视。

说这定理是毕达哥拉斯所发现的是不大确切。因为在这之前1000年,埃及、巴比伦和中国的劳动人民已懂得利用一些特殊的直角三角形来切割方型的石块,从事建筑庙宇、城墙等。考古学家从巴比伦的泥板书的记载发现古巴比伦人已经懂得了一些和直角三角形有关的问题。

在中国最古老的数学书《周髀算经》里,一开头就有周公问商高:“天不可阶而升,地不可将尺寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎样得到的呢? 这个据说是公元前1100年间的中国数学家商高讲到:“勾广三,股修四,径隅五。”就是说可以用直角三角形的定理来算。里面在讲到立竿测影的问题时,另外一个古代数学家陈子讲道:“勾股各自乘,并而开方得弦。”这就很明确的说出毕氏定理。

周髀算经里还这样记载:“周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也。正晷者,勾也。正南千里,勾一尺五寸,正北千里,勾一尺七寸。日益表南,晷日益长。候勾六尺,即取竹,空经一寸,长八尺,捕影而观之,室正掩日,而日应空之孔。由此观之,率八十寸而得径一寸,故此勾为首,以髀为股,从髀至日下六万里而髀无影,从此以上至日,则八万里。”

要了解中国人民利用这定理在科学上实践的重要意义,最好是看看钱伟长教授对这段文字的说明:“……商高,陈子等利用立竿(即周髀)测定日影,再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺,在镐京(今西安附近)一带,夏至日太阳影长一尺六寸,再正南千里,影长一尺五寸。正北千里,影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法,推算了夏至日太阳离地的斜高,用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管,径一寸长八尺,用来观测太阳,我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线,于是用太阳的斜高和勾股的原则,推算太阳的直径。这些测定的数据,虽然非常粗略,和实际相差很远,但在3000年前那样早的年代,有这样天才的创造和实践的观测精神,是我们应该学习的。”

为了纪念中国人民在这方面的成就,把这个定理叫做“勾股定理”或是“商高定理”。(www.xing528.com)

汉朝的数学家赵君卿,在注周髀算经时,附了一个图来证明“商高定理”。这个证明是四百多种 “商高定理”的证明中最简单和最巧妙的。

外国人用同样的方法来证明的,最早是印度数学家巴斯卡拉·阿查雅 (Bhaskara－Acharya生于公元1114 年,死于1185年),那是公元1150年的时候,可是比赵君卿还晚了1000年。

东汉初年根据西汉和西汉以前数学知识积累而编纂的一部数学著作: 《九章算术》里面有一章就是讲 “商高定理”在生产事业上的应用。可惜中国人在这之后对这个定理很少作进一步的研究,一直到清朝时才有华蘅芳、李锐、项名达、梅文鼎等创立了这个定理的几种巧妙的证明,读者如有兴趣可以找许纯舫著的《中算家的几何学研究》一书来看。

在20世纪初,有许多科学家相信火星上是有高度智慧的生物。因为从望远镜上可以看到火星上有运河的样子,人们猜想可能是“火星人”用极冠的冰雪融化了来灌溉干燥的土地。

我们要怎么样传达讯息给火星人,让他们知道在这个太阳系里的另一个行星——地球也有像他们那样聪明的生物呢?

有人想到既然在地球上的不同地区不同民族,因为生产的需要而先后发现了这个 “商高定理”。那么如果火星上的生活条件和地球一样,火星人肯定也会知道这个定理。因此我们可以在西伯利亚种上阔排的树林,形成一个直角三角形。或者在撒哈拉沙漠挖一个直角三角形的大运河,然后在上面倒上石油,晚上点起火来。火星人可能从望远镜(如果他们有的话!)看到,就知道地球上有人,可能还会乘飞碟过来访问我们!

由于工程太大,这些方法从来没有实现过。可是人类并没有放弃和地球外生物联系的念头,最近美国科学家用激光把有关地球和人类的一些讯息传播到宇宙去就是一个大胆的尝试。当然这些科学技术上的理论不可避免的就用到了这个数学上最重要的定理。

我们这里列下几个有关问题,让读者动动脑筋:

1.美国开国以来,只有一个总统是在数学上有贡献。他就是Garfield总统,他在1876年给了毕氏定理的一个证法(这也是他惟一的数学贡献!)。

你知道他怎么样证明呢?

2.在一张白纸上画一个直角三角形,然后像邮票上的图案在每边上画一个正方形,然后找股边上的正方形的中心,由这点画和弦平行的直线,以及垂直这线的线。用剪刀把有线的地方剪下。你能不能用a,b,c,d,e五个方块把以弦为边的正方形铺满?

3.画那著名的“蒙娜丽莎”的意大利文艺复兴时代画家达·芬奇,是一个多才多艺的人。他也是对数学有一些研究,底下是他对“商高定理”的证明,你能猜出他怎么样证吗?

4.凡是满足代数式x2＋y2＝z2 的正整数,我们称为“商高数组”,如{3,4,5}就是一个。52＋122＝132 所以{5,12,13}也是一个。可以证明“商高数组”是有无穷多个,但是其中有一些有这样有趣的性质:x2＝y＋z,如32＝4＋5,52＝12＋13。是否这类的“商高数组”也是有无穷多呢?

5.这是一个许多数学家还不能解决的问题,如果你解决了,你也是一个不错的数学家:一些“商高数组”如{3,4,5}和 {5,12,13},弦是素数,而一个股或勾也是素数,像这一类的商高数组是否有无穷多呢?