【摘要】：为了使差分方程初值问题的准确解yi 收敛于初值问题（8.1）的解y，必须使得当h→0 时，x ＝xi ＝a＋ih 保持固定（n→∞）。定理8.4假设单步法具有p 阶精度，且函数Φ关于y 满足李普希兹条件，即存在常数L＞0，使又设初值y0 是准确的，即y0 ＝y，则其整体截断误差注：①对于欧拉方法，Φ＝f（x，y），故当f（x，y）关于y 满足李普希兹条件时它是收敛的。若单步法与初值问题（8.1）是相容的，则它至少是一阶方法。
为了使差分方程初值问题（8.24）的准确解yi 收敛于初值问题（8.1）的解y（x），必须使得当h→0 时，x ＝xi ＝a＋ih 保持固定（n→∞）。
显然数值方法收敛是指整体截断误差ei ＝y（xi）－yi→0。
定理8.3 如果f（x，y）关于y 满足李普希兹条件，即存在常数L＞0，使
且y″（x）有界，则欧拉方法的整体截断误差满足
由整体截断误差估计式知，当初值误差为0 时有
所以，当h→0 时，yi→y（xi）。 因此，在一定条件下，欧拉方法收敛，且收敛速度为O（h）。
一般地，有下面的收敛性定理。
定理8.4 假设单步法（8.24）具有p 阶精度，且函数Φ（x，y，h）关于y 满足李普希兹条件，即存在常数L＞0，使(www.xing528.com)
又设初值y0 是准确的，即y0 ＝y（x0），则其整体截断误差
注：①对于欧拉方法，Φ（x，y，h）＝f（x，y），故当f（x，y）关于y 满足李普希兹条件时它是收敛的。
②可以验证龙格⁃库塔方法的收敛性。
定义8.6 若单步法（8.24）的函数Φ（x，y，h）满足
则称式（8.24）与初值问题（8.1）相容，并称式（8.25）为相容条件。
相容性是指数值方法逼近微分方程，当h→0 时可得到y′＝f（x，y）。
定理8.5 假设Φ（x，y，h）关于h 连续。 若单步法（8.24）与初值问题（8.1）是相容的，则它至少是一阶方法。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
