离散变量法-数值计算方法

在实际问题中得到的常微分方程初值问题，当求不出解析解的表达式时，只能求出其近似解。 离散变量法是求初值问题（8.1）的近似解的一类方法。 所谓微分方程数值解，就是求微分方程的解y（x）在一系列离散节点

处y（xi）的近似值yi（i＝0，1，…，n）。 相邻的两个节点之间的距离hi ＝xi＋1－xi 称为由xi 到xi＋1的步长，通常取为常数h。

把一个连续型问题转化为一个离散型问题的过程称为离散化过程。 求数值解，首先应将微分方程离散化，常用的离散化方法有：

①用差商代替微商

若用向前差商代替微商，即

代入式（8.1）中的微分方程，则得

记y（xi）的近似值为yi，则由上式右端可计算出y（xi＋1）的近似值，即

②数值积分法

利用数值积分法左矩形公式

可得同样算法yi＋1 ＝yi＋hf（xi，yi）

③用泰勒（Taylor）公式

假设初值问题（8.1）满足定理8.1 的条件，且函数f（x，y）是足够次可微的。 由Taylor 公式，有

则上式可简写成

令x ＝xi，则(www.xing528.com)

于是截去式（8.5）的最后一项，得到离散化公式

注：若只对y（x）作一次Taylor 展开，则Φ（xi，y（xi），h）＝f（xi，y（xi）），此时式（8.6）即为式（8.3）：yi＋1 ＝yi＋hf（xi，yi）。

下面给出离散化过程的误差概念。 由于初值问题（8.1）的精确解y（x）满足式（8.5），所以我们称

为数值方法（8.6）的局部截断误差。 一般地，有下面的定义8.2。

定义8.2　假设yi ＝y（xi）为准确值，考虑计算下一步所产生的误差，即用某种数值算法计算y（xi＋1）所产生的误差

称为该数值算法的局部截断误差。

定义8.3　如果某个数值解法的局部截断误差为O（hp＋1），则称该算法为p 阶算法。

由定义8.3 知，当步长h＜1 时，p 越大，则局部截断误差越小，计算精度就越高。

定义8.4　考虑用某种数值算法计算时，因前面的计算不准确而引起的准确解y（xi）与数值解yi 的误差，

称为该数值算法的整体截断误差。

常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：

①单步法。 单步法是在计算yi＋1时，只用到xi＋1，xi 和yi，即只用到前一步的值；

②多步法。 多步法是在计算yi＋1 时，除用到xi＋1，xi 和yi 以外，还要用到xi－p，yi－p（p ＝1，2，…，k），即用到前k 步的值。