迭代法的收敛条件-数值计算方法第3版

由上面讨论可知，解Ax ＝b 的Jacobi 迭代法，G⁃S 迭代法，SOR 迭代法，都是一阶定常迭代法。 下面讨论其收敛条件，即迭代矩阵B 满足什么条件时，由迭代法产生的向量序列收敛到x∗。

定义7.6　矩阵A 的所有特征值λi（i＝1，…，n）的模的最大值称为它的谱半径，记为

定理7.11　矩阵A 的谱半径不超过矩阵A 的任何一种算子范数‖A‖。

读者自证。

定理7.12　迭代过程x（k＋1）＝Bx（k）＋f 对任给初始向量x（0）收敛的充分必要条件是矩阵B的谱半径ρ（B）＜1。

证明见参考文献［1］。

定理7.13　如果‖B‖＜1，则I±B 为非奇异阵，且有估计

其中，‖·‖是矩阵的算子范数，I 为单位矩阵。

证　反证法，如果det（I－B）＝0，则齐次方程组（I－B）x ＝0有非零解x0，即Bx0 ＝x0 且x0≠0，于是有

故　‖B‖≥1，与假设矛盾。

由（I－B）·（I－B）－1 ＝I 知（I－B）－1 ＝I＋B（I－B）－1，于是

所以

定理7.14　（迭代法收敛的充分条件）

设有方程组x ＝Bx＋f，且｛x（k）｝为由迭代法x（k＋1）＝Bx（k）＋f　（x（0）为任意选取初始向量）产生的向量序列。

如果迭代矩阵B 有某一种算子范数‖B‖＝q＜1，则

证　①由定理7.13 可知方程组（I－B）x ＝f 有唯一解x∗，即x∗满足方程组

②引进误差向量：e（k）＝x（k）－x∗，则有误差e（k）的递推公式

反复利用递推公式即得

其中e（0）＝x（0）－x∗。

显然，由迭代公式及递推公式有

反复利用式（7.41），即得③。(www.xing528.com)

下面再介绍几个常用的判别方法。

定义7.7　（严格对角占优阵）　设A＝（aij）n×n，如果A 满足条件

即A 的每一行对角元素的绝对值都严格大于同行其他元素绝对值之和，则称A 为严格对角占优阵。

定理7.15　如果A＝（aij）n×n为严格对角占优阵，则A 为非奇异矩阵。

证　用反证法。 若det（A）＝0，则Au＝0 有非零解，记为即

与假设矛盾。

定理7.16　设Ax ＝b，A∈Rn×n。 如果A 为严格对角占优阵，则解Ax ＝b 的Jacobi 方法，G⁃S迭代法都收敛且G⁃S 迭代法收敛比Jacobi 方法快。

证　只证明雅可比（Jacobi）法收敛，其余同理可证。

事实上，由于A 为严格对角占优阵，雅可比迭代法迭代矩阵的范数为

故由定理7.14 知方程组Ax ＝b 存在唯一解，雅可比法收敛。

定理7.17　①设Ax ＝b，其中A 为对称正定阵；

②0＜ω＜2。

则解Ax ＝b 的SOR 方法收敛。

证略。

推论　设Ax ＝b，其中A 为对称正定阵，则G⁃S 迭代法收敛。

事实上，当ω＝1 时，SOR 方法就是G⁃S 迭代法。 由定理7.17 知推论成立。

例7.13　试考察用Jacobi 方法，G⁃S 迭代法解下面方程组的收敛性

解（1）

故ρ（BJ）＜1，Jacobi 迭代法收敛。

解（2）