【摘要】：逐次超松弛迭代法，简称SOR 方法，是GS 迭代法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它有着广泛的应用。将式代入式，得到解Ax ＝b 的SOR 方法：或写成在SOR 方法中取ω＝1 就是GS 迭代法。当松弛因子ω 满足0＜ω＜1 时，迭代法称为低松弛方法；当1＜ω＜2 时，迭代法称为超松弛方法。由此可知，利用SOR 方法解线性方程组时，松弛因子选择得较好，常常会使SOR 迭代收敛大大加速。
逐次超松弛迭代法（Successive Over Relaxation Method），简称SOR 方法，是G⁃S 迭代法的一种加速方法，是解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一，它有着广泛的应用。
设有方程组Ax ＝b，A∈Rn×n，且aii≠0（i＝1，2，…，n），A 为非奇异矩阵。 选取分裂矩阵M为带参数的下三角阵
其中，ω＞0 为可选择的松弛因子。 于是可得迭代矩阵
于是，得到解Ax ＝b 的逐次超松弛迭代公式：
其中f＝ω（D－ωL）－1b。
将式（7.36）代入式（7.37），得到解Ax ＝b 的SOR 方法：
或写成
在SOR 方法（7.38）中取ω＝1 就是G⁃S 迭代法。 可以证明，为了保证迭代过程收敛，必须要求0＜ω＜2。 当松弛因子ω 满足0＜ω＜1 时，迭代法（7.38）称为低松弛方法；当1＜ω＜2 时，迭代法（7.38）称为超松弛方法。
例7.12 用SOR 方法解方程组(www.xing528.com)
解 精确解x∗＝（－1，－1，－1，－1）T
取初始向量x（0）＝（0.0，0.0，0.0，0.0）T，SOR 迭代公式为
①当取松弛因子ω＝1.3 时，计算结果为
且
迭代次数k ＝11。
②当取ω＝1.0 时，初始向量相同，达到同样精度，所需迭代次数k ＝22。
③当取ω＝1.7 时，初始向量相同，达到同样精度，则需迭代次数k ＝33。
对于此例，最佳松弛因子是ω＝1.3。 由此可知，利用SOR 方法解线性方程组时，松弛因子选择得较好，常常会使SOR 迭代收敛大大加速。
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