数值计算方法：平方根法解对称正定矩阵方程组

在工程技术问题中，例如用有限元方法解结构力学中的问题时，常常需要求解系数矩阵为对称正定矩阵的方程组。 所谓平方根法，就是对于这种具有特殊性质的系数矩阵，利用对称正定矩阵的三角分解而得到的解对称正定矩阵方程组的一种有效方法。 平方根法目前在计算机上被广泛应用。

设有方程组Ax ＝b，其中，A∈Rn×n。 若A 满足下述条件，则称A 为对称正定矩阵。

①A 对称，即AT ＝A；

②对任意非零向量x∈Rn，有（Ax，x）＝xTAx＞0。

对称正定矩阵A 具有性质：

①A 的顺序主子式都大于零，即det（Ak）＞0（k ＝1，2，…n）；

②A 的特征值λi＞0（i＝1，2，…，n）。

设A 为对称正定矩阵，则由定理7.2 知，A 有唯一的三角分解

为了利用A 的对称性，将U 再分解为U＝DU0，其中

于是　

由式（7.18）可知

又因为det（Ak）＞0（k＝1，2，…，n），故uii＞0（i＝1，2，…，n）。 于是，对角阵D 还可以分解为

定理7.6　（对称正定阵的三角分解）

设A 为n 阶对称正定矩阵，则有三角分解：

①A＝LDLT，其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵，或

②A＝LLT，其中，L 为下三角阵且当限定L 的对角元素为正时，这种分解是唯一的，这种矩阵分解称为乔里斯基（Cholesky）分解。

下面推导实现分解计算A＝LLT 的递推公式，以及求解公式。

设有Ax ＝b，其中A∈Rn×n为对称正定矩阵，于是有三角分解(www.xing528.com)

其中，lii＞0（i＝1，2，…，n）。

由矩阵乘法，则有L 的第1 列元素

同理，可确定L 的第j 列元素lij（i＝j，…，n）。

由此求得解对称正定矩阵方程组的平方根法计算公式。

1）A＝LLT 分解计算

②对于j＝2，3，…，n

2）求解计算

①求解Ly ＝b

②求解LTx ＝y

所以1≤j≤n

式（7.21）说明解Ax ＝b 的平方根法所得的中间数据ljk是有界的，即ljk数量级不会增长。因此，虽然解对称正定矩阵方程组的平方根法没有进行选主元素，但平方根法是数值稳定的。

例7.6　用平方根法解方程组

解　容易验证该方程组的系数矩阵为对称正定矩阵。

①分解计算A＝LLT

故

②求解两个三角形方程组，求解Ly ＝b，得到

求解LTx ＝y，即得原方程组的解x ＝（2，2，1）T。