利用二分法确定方程根的方法及计算结果

设有非线性方程

其中，f（x）为区间［a，b］上的连续函数，且设f（a）f（b）＜0。

利用数学分析中的介值定理可以最简单地确定方程根的存在区间。 假设函数f（x）满足上面的条件，则根据闭区间上连续函数的介值定理，在区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f（ξ）＝0。 我们称ξ 为函数f（x）的零点或式（6.1）的根，并称［a，b］为式（6.1）的含根区间。

不妨设式（6.1）在［a，b］内仅有一个实根，求式（6.1）实根ξ 的二分法过程，就是将含根区间［a，b］逐步分半，检查函数值符号的变化，以便确定出含根的充分小区间。

二分法简述如下： 设ε 为预先给定的精度要求。

②如果f（x0）＝0，则x0 是f（x）＝0 的根，停止计算，输出结果ξ ＝x0；如果f（a）f（x0）＜0，令a1 ＝a，b1 ＝x0，否则令a1 ＝x0，b1 ＝b；

以上方法可得到每次缩小一半的含根区间序列：

且满足

①f（ak）f（bk）＜0， 即ξ∈［ak，bk］；(www.xing528.com)

当区间长度很小时，取其中点xk ＝（ak＋bk）／2 为根的近似值，显然有

总之，由上述二分法得到一个序列｛xk｝，由式（6.2），则有

可用二分法求方程f（x）＝0 实根的近似值到任意指定的精度。 事实上，设ε＞0 为给定精度要求，为了确定分半次数k 使

解　由ε＝0.5×10－3和式（6.3）可确定所需分半次数k ＝11。 计算结果见表6.1。 该方程的一个实根为x∗≈x11≈1.134。

二分法优点是方法简单，且对f（x）只要求连续即可。 可用二分法求出f（x）＝0 在［a，b］内的全部实根。 但二分法不能求复根及偶数重根。 在实际应用中，这个方法可以用来求根的初始近似值。

表6.1　计算结果