龙贝格算法：利用序列收敛求积方法

作为积分的近似值，可望提高其精确程度。

直接根据复化求积公式，不难验证

这说明，将区间对分前后两次复化梯形公式的值，按式（5.25）作线性组合恰好等于复化辛浦生公式的值SN，它比T2N 更接近于近似值。

同样，根据式（5.27） 用S2N 与SN 作线性组合会得到比S2N 更精确的值，且通过直接验证可得

再由式（5.28）用C2N 与CN 作线性组合，又可得到比C2N 更精确的值，通常记为RN，即

式（5.31）称为龙贝格求积公式。

可以证明，由梯形序列外推得到辛浦生序列、由辛浦生序列外推得到科特斯序列以及由科特斯序列外推得到龙贝格序列，每次外推都可以使误差阶提高二阶。

利用龙贝格序列求积的算法称为龙贝格算法。 这种算法具有占用内存少、精确度高的优点。 因此，它成为实际中常用的求积算法。 下面给出龙贝格求积算法的计算步骤：

第1 步：算出f（a）和f（b），计算T1；

第4 步：将区间再次分半，计算T8，S4，C2，并由式（5.31）计算R1；

第5 步：将区间再次分半，类似上述过程计算T16，S8，C4，R2。

重复上述过程可计算得到R1，R2，R4，…，一直算到龙贝格序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。

上述计算步骤也可用表5.4 表示。

表5.4　计算步骤

可以证明：如果f（x）充分光滑，那么梯形序列、辛浦生序列、科特斯序列与龙贝格序列均收敛到所求的积分值。(www.xing528.com)

例5.8　用龙贝格算法计算积分

第2 步：计算T2 和S1

将区间［0，1］二等分，分点为x ＝0.5，f（0.5）＝3.2，则

根据式（5.29）得

第3 步：计算T4，S2 和C1

再二等分一次，即将区间［0，1］四等分，计算得

再根据式（5.29）得

第4 步：计算T8，S4，C2 和R1

再二等分一次，即将区间［0，1］八等分，计算得T8 ≈3.138 989，S4 ≈3.141 593，C2 ≈3.141 595。

再根据式（5.29）得

第5 步：将区间再次分半，重复第2—4 步，继续计算。

具体计算结果见表5.5。

表5.5　计算结果