数值计算方法：区间逐次分半求积

复化求积公式是提高精确度的一种有效方法，但在使用复化求积公式之前，必须根据复化求积公式的余项进行先验估计，以确定节点数目，从而确定合适的等分步长。 因为余项表达式中包含了被积函数的高阶导数，而估计各阶导数的最大值往往是很困难的，所以步长的选取是一个困难的问题。 实际应用中求积主要依靠自动选择步长的方法，称为“事后估计误差”的方法。 即在步长逐次半分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，并同时查看相继两次计算结果的误差是否达到要求，直到所求得的积分近似值满足精度要求为止。 下面以变步长梯形公式为例，介绍这种求积方法。

假定区间N 等分时，由式（5.19）算出的积分近似值为TN，由式（5.20）可知，积分值为

再将各子区间分半，使得区间成2N 等分。 此时所得积分近似值记为T2N，则

假定f″（x）在［a，b］上变化不大，即有f″（η1）≈f″（η2），于是得

上式也可写为

实际计算中的递推公式为(www.xing528.com)

这样不断二等分下去，计算结果见表5.3。　

通过类似的推导，还可得到下面的结论。

对于辛浦生公式，假定f（4）（x）在［a，b］上变化不大，则有

表5.3　计算结果

对于科特斯公式，假定f（6）（x）在［a，b］上变化不大，则有

在区间逐次分半过程中，采用事后估计误差的方法，可以确定合适的计算步长。 所以，区间逐次分半求积法也称为步长自动选择的变步长求积法。 类似地，我们将积分区间逐次分半，每次应用复化辛浦生公式，则可导出变步长的辛浦生公式。