数值计算方法第3版-求积公式代数精确度

如果某个求积公式对尽可能多的被积函数f（x）都准确成立，那么这个公式就具有比较好的使用价值。 从式（5.5）知，n＋1 个节点的牛顿⁃科特斯求积公式对于任何不高于n 次的多项式f（x）精确成立，这是因为

故

定义5.1　如果求积公式（5.3）对于任何不高于m 次的代数多项式都准确成立（即Rn［f ］≡0），而对于xm＋1却不准确成立（即Rn［f ］≢0），则称该求积公式具有m 次代数精确度，简称代数精度。

容易证明，求积公式具有m 次代数精确度的充分必要条件是它对于f（x）＝1，x，x2，…，xm都准确成立，而对于f（x）＝xm＋1不准确成立。

利用充分必要条件，容易验证梯形公式，辛浦生公式，科特斯公式分别具有1，3，5 次代数精度。 下面以梯形公式为例进行验证。 对于梯形公式

所以梯形公式只有1 次代数精度。

注：代数精度只是定性地描述了求积公式的精确程度，不能定量地刻画求积公式的误差的大小。

定理5.1　含有n＋1 个节点的插值型数值积分公式的代数精度至少是n。证　由式（5.5）知，插值型数值积分公式的余项

所以对于次数不超过n 的多项式，有Rn［f ］＝0，从而其代数精度至少是n。

可以证明，n 为偶数的牛顿⁃科特斯求积公式具有n＋1 次代数精度，n 为奇数的牛顿⁃科特斯求积公式具有n 次代数精度。

下面介绍构造具有尽可能高的代数精度的求积公式的待定系数法。(www.xing528.com)

一般地，给定n＋1 个节点xk（k ＝0，1，…，n），可以确定相应的求积系数Ak，构造至少具有n次代数精度的求积公式。 事实上，只要令求积公式（5.3）对f（x）＝1，x，x2，…，xn 都准确成立，则可得到含求积系数Ak（k ＝0，1，…，n）的代数方程组

因为方程组的系数行列式是范德蒙行列式，其值不为零，因而可求得唯一解Ak（k ＝0，1，…，n），由此可构造出至少具有n 次代数精度的求积公式。

例5.2　给定求积公式

试确定A－1，A0，A1，使求积公式的代数精度尽量高，并指出代数精度。

解　令求积公式对f（x）＝1，x， x2 准确成立，则有

解得

得求积公式

其代数精度至少为2。

将f（x）＝ x3 代入求积公式，左边＝右边＝0，所以公式准确成立。