化一般矩阵为拟上三角矩阵-数值计算方法

首先介绍Householder 变换。 设向量w＝（w1，w2，…，wn）T 是单位向量，即满足

为Householder 矩阵或反射矩阵。 容易证明，Householder 矩阵具有以下性质：

①矩阵H 是实对称的正交矩阵。 事实上，HT ＝H，

HHT ＝（I－2wwT）（I－2wwT）＝I－4wwT＋4w（wTw）wT ＝I。

②det（H）＝－1。

③矩阵H 仅有两个不等的特征值±1，其中1 是n－1 重特征值，－1 是单特征值，w 为其相应的特征向量。

④对任意的x∈（span｛w｝）⊥，α∈R，有H（x＋αw）＝x－αw。

定理4.3　设x，y 为Rn 中的任意非零向量，且‖y‖2 ＝1，则存在Householder 矩阵H，使得

证明略。

该定理表明，对任意非零向量x，都可以构造一个Householder 变换，它将x 变成事先给定的单位向量的倍数。 特别地，若取y＝ei，则x 经过Householder 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时，若x＝（x1，x2，…，xn）T≈ei，则x－‖x‖2eisign（xi）≈θ，即‖x－‖x2‖eisign（xi）‖＜＜1，从而在计算w 时会产生较大的误差，为此取

使得Householder 矩阵H＝I－2wwT 将x 变成与ei 共线的向量，即有Hx ＝－sign（xi）‖x‖2ei。

接下来可以利用Householder 变换将一个一般矩阵A 相似变换成拟上三角矩阵：

首先，选取Householder 矩阵H1，使得经H1 相似变换后的矩阵H1AH1 的第一列中有尽可能多的零元素。 为此取H1 如下形式：(www.xing528.com)

其中，为n－1 阶的Householder 矩阵。 于是有

由定理知，只要取使得

就会使得变换后的矩阵H1AH1 的第一列出现n－2 个零元。 类似地可以构造如下形式的Householder 矩阵：

使得

如此进行n－2 次后，可以构造n－2 个Householder 矩阵H1，H2，…，Hn－2，使得

其中H 是拟上三角矩阵。 特别地，如果A 为实对称矩阵，则经过上述正交相似变换后得到的矩阵H 是三对角阵。

例4.8　用Householder 变换将矩阵

化为拟上三角矩阵。

所以

于是

计算得拟上三角矩阵H 为