用QR方法求实矩阵特征值和特征向量

把矩阵A 分解成一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R 的乘积，称为矩阵A 的正交三角分解，简称QR 分解。 任何一个n 阶矩阵A 恒可分解为A ＝QR。 如果A 非奇异，则分解是唯一的。 QR 方法一般用来求解实矩阵的全部特征值问题。 自1961 年Francis 提出这一方法后，目前已成为求解中、小型矩阵全部特征值问题的最有效方法。

为了叙述方便，先介绍几个特殊的矩阵。 设A＝（aij）n×n。

①对称矩阵　如果AT ＝A；

②正交矩阵　如果A－1 ＝AT；

③上三角矩阵　如果当i＞j 时，aij ＝0；

④上海森伯格（Hessenberg）阵　如果当i＞j＋1 时，aij ＝0。

基本QR 方法的思想是利用矩阵的QR 分解，通过迭代格式(www.xing528.com)

将A＝A（1）化成相似的上三角阵（或分块上三角矩阵），从而求出矩阵A 的全部特征值和特征向量。

可以证明，在一定条件下，基本QR 方法产生的矩阵序列｛A（k）｝“基本”收敛于一个上三角矩阵（或分块上三角矩阵）。 特别地，如果A 是实对称矩阵，则｛A（k）｝“基本”收敛于一个对角矩阵。 由于上三角阵的主对角元即为该矩阵的特征值，故当k 充分大时，A（k）的主对角元就可以作为A 的特征值的近似。 基本QR 方法的主要运算是对矩阵作QR 分解，分解的方法很多，这里主要以Schmidt 正交化方法为例进行分析。

设A 是n 阶非奇异实矩阵，记为A＝［a1，a2，…，an］，其中

这就是利用Schmidt 正交化方法对矩阵进行QR 分解的过程。

例4.7　利用Schmidt 正交化方法对矩阵进行QR 分解。

基本QR 方法每次迭代都需要作一次QR 分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢，因此实际使用的QR 方法是先利用一系列相似变换将A 化为拟上三角矩阵（称为上Hessenberg 矩阵），然后对此矩阵用基本QR 方法。