埃尔米特插值多项式及其基函数求解方法

不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。 具有节点的导数值约束的插值多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式。 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况。

设在节点a ＝x0＜x1＜…＜xn ＝b 上，yj ＝f（xj），mj ＝f′（xj）（j ＝0，1，…，n），要求插值多项式H（x），满足条件

这里给出了2n＋2 个条件，可唯一确定一个次数不超过2n＋1 的多项式H2n＋1（x）＝H（x），其形式为

若根据式（2.20）来确定2n＋2 个系数a0，a1，…，a2n＋1，显然非常复杂。 因此，仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法，先求插值基函数αj（x）及βj（x）（j ＝0，1，…，n）。 设αj（x）、βj（x）（j＝0，1，…，n）都是次数不超过2n＋1 的多项式，且满足条件

于是满足式（2.21）的插值多项式H（x）＝H2n＋1（x）可写成用插值基函数表示的形式

由式（2.21），显然有H2n＋1（xk）＝yk，H′2n＋1（xk）＝mk，（k ＝0，1，…，n）。 下面利用拉格朗日插值基函数lj（x）来求埃尔米特插值多项式的基函数αj（x）及βj（x）。 令

整理得

解出

同理可得

于是

在每个节点xk 上均有二重根，即φ（x）有2n＋2 重根。 但φ（x）是不高于2n＋1 次的多项式，故φ（x）≡0。 唯一性得证。(www.xing528.com)

仿照拉格朗日余项定理可得，若f（x）在（a，b）内的2n＋2 阶导数存在，则其插值余项

当n ＝1 时，节点为x0 及x1，插值多项式为H3（x），满足条件

相应的插值基函数为

于是插值多项式是

其余项R3（x）＝f（x）－H3（x），即

例2.8　确定一个次数不高于4 的多项式f（x），使满足条件f（0）＝f′（0）＝0，f（1）＝

f′（1）＝1，f（2）＝1。

解　这是一个带导数的非标准插值问题，对节点x0 ＝0 和x1 ＝1 可确定H3（x）。

设　f（x）＝H3（x）＋c（x－0）2（x－1）2，其中c 为待定常数。 则

所以