数值计算方法(第3版)：有效数字及其作用

在表示一个近似值时，为了同时反映其准确程度，常常用到“有效数字”的概念。 例如对无穷小数或循环小数，可用四舍五入的办法来取其近似值。

例1.1　我们知道，π＝3.141 592 65…是一个无理数，按四舍五入考虑π 的不同近似值：

这种近似值取法的特点是误差限为其末位数的半个单位。 当近似值x∗的绝对误差限是其某一位上的半个单位时，就称其“准确” 到这一位，且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。

定义 设x 的近似值x∗的规格化形式为

其中，α1，α2，…，αn 都是0 ～9 中的任一整数，且α1 ≠0；n 是正整数，m 是整数。 若x∗的误差限为

则称x∗为具有n 位有效数字的有效数，或称它精确到10m－n。 其中每一位数字α1，α2，…，αn 都是x∗的有效数字。

注：①若式（1.7） 中的x∗是x 经四舍五入得到的近似值，则x∗具有n 位有效数字。 例如，3.141 6 是π 的具有五位有效数字的近似值，它精确到0.000 1。

②有效数尾部的零不可随意省去，以免损失精度。

③另一种情况，例如x ＝0.152 4，x∗＝0.154。 这时x∗的误差e∗＝－ 0.001 6，其绝对值超过了0.000 5（第三位小数的半个单位），但却没有超过0.005（第二位小数的半个单位），即

显然x∗虽有三位小数但却只精确到第二位小数，因此它只具有二位有效数字。 其中α1 ＝1，α2 ＝5 都是准确数字，而第三位数字α3 ＝4 就不再是准确数字了，就称它为存疑数字。

另外，由式（1.8） 可知，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字的位数越多，其绝对误差限也就越小。 不但如此，还可以从有效数字中求出其相对误差限。

当用式（1.7） 表示的近似值x∗具有n 位有效数字时，显然有(www.xing528.com)

注：①一般地，由式（1.9）得到的相对误差限偏大。

②式（1.9）说明x∗的有效数字位数越多，其相对误差限越小。 由此可见，有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。 事实上，由上面的推导可得定理如下。

定理　设非零近似数x∗有形如x∗＝±0.α1α2…αn × 10m 的表示，则x∗的有效数字与x∗的相对误差之间有如下关系：

（1） 若x∗具有n 位有效数字，则其相对误差满足

（2）若x∗的相对误差限满足

则x∗至少具有n 位有效数字。

结论（2）的证明留给读者。

例1.2　当用3.141 6 来表示π 的近似值时，它的相对误差限是多少？

解　3.141 6 具有5 位有效数字，α1 ＝3，由式（1.9）有

可解出n ＝4。 即只要取4 位有效数字，此时x∗＝4.472 就能满足要求。