概率论与数理统计：总体均值μ的区间估计

6.3.1.1 当σ2已知时，求μ的置信区间

根据抽样分布定理可知，统计量

即

故μ的置信度为1-α的置信区间为

若给定α，σ2，样本容量n及样本观测值x1，x2，…，xn，即可求出上述置信区间.

【例2】 某种零件的长度X服从正态分布，从该批产品中随机抽取9件，测得它们的平均长度为21.4毫米，已知总体标准差为σ=0.15毫米，试求这种零件平均长度置信水平分别是95%和99%时的置信区间.

因为

对于给定的置信水平1-α，有

总体均值μ的置信区间为（21.302，21.498）.

总体均值μ的置信区间为（21.271，21.529）.即我们有95%的把握保证该种零件的平均长度在21.302毫米和21.498毫米之间.有99%的把握保证该种零件的平均长度在21.271毫米和21.529毫米之间.

当总体分布未知或者总体为非正态分布时，只要样本是大样本（一般认为n≥50为大样本）根据中心极限定理知

因此，若总体方差σ2已知时，得到μ的一个置信水平为1-α的近似置信区间

解 可把投保人年龄分布X近似看成正态分布

即总体的置信区间为（37.18，41.82）.有99%的把握保证投保人的平均年龄在37～42岁之间.

6.3.1.2 当σ2未知时，求μ的置信区间

则对于给定的显著性水平α，不难找出tα/2（n-1），使得

于是得到以1-α置信水平保证的置信区间

【例4】 某厂生产的车轴直径X服从正态分布N（μ，σ2），从当日的产品中随机抽取5支，测得直径（单位：mm）为(www.xing528.com)

21.4 22.0 22.3 21.5 21.8

试求直径期望的置信度为95%的置信区间.

1-α=0.95，α=0.05，n=5

故μ的置信度为0.95的置信区间为

一般来说，在同样的置信度下，当σ已知时，关于μ的置信区间更好一些.