概率论与数理统计：矩估计法的应用

矩估计法就是利用样本各阶原点矩（或中心矩）与相应的总体矩，建立估计量应满足的方程，从而求出未知参数估计量的方法.是英国统计学家皮尔逊（K.Pearson）在1894年提出的一个替换原理，后来人们把它称为矩估计法.

由大数定律知道，样本矩依概率收敛于总体矩，也就是说，只要样本容量n取得充分大时，用样本矩作为总体矩的估计可以达到任意精确的程度.因此，很自然地想到用样本矩代替总体矩，从而得到总体分布中未知参数的一个估计.这种方法称为矩估计法，简称矩法.

设总体X的密度函数为f（x，θ1，θ2，…，θk）（或概率函数P（X，θ1，θ2，…，θk）），含有k个待估计参数θi，i=1，2，…，k，X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的样本，x1，x2，…，xn是样本观测值，如果总体的k阶原点矩存在，则矩法构造未知参数估计量的一般步骤如下：

（1）如果总体的l阶原点矩，即

或

其中μl=μl（θ1，θ2，…，θk） l=1，2，…，k

（3）解上述方程组，得到k个解

需要指出的是，对于双参数的矩估计，我们可以对一阶情况使用原点矩建立方程，而对二阶情况使用中心矩建立方程，可以证明这样的方程组与原方程组（*）是同解的.

【例2】 求事件概率p的矩估计量.

解 记事件A的概率P（A）=p，我们用X表示事件A在一次试验中出现的次数，

则P（X=1）=p，P（X=0）=1-p，所以E（X）=p.

总体X～B（1，p），设X1，X2，…，Xn为取自总体的n个样本，则p的估计量为

【例3】 求总体X数学期望和方差的矩估计量.

解法一 设总体X的二阶原点矩存在，而X1，X2，…，Xn是来自总体的一组样本，因为

D（X）=E（X2）-E2（X）

所以，总体X的二阶原点矩为

μ2=E（X2）=D（X）+E2（X）

于是，用矩估计法可得到方程组

解以上方程组得X数学期望和方差的矩估计量

注：由样本方差定义知

其中

解法二 直接使用中心矩建立方程组

得到X数学期望和方差的矩估计量

大家可以验证

【例4】 设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a，b未知.X1，X2，…，Xn是一组样本，试求a，b的矩估计.

解 由X～U[a，b]知(www.xing528.com)

联立方程得

由【例3】可知，a，b的估计量分别为

【例5】 若总体X的概率密度函数为

求未知参数θ的矩估计.

解 因为

所以　

所以θ的矩估计为

其中

【例6】 已知某种灯泡的寿命X～N（μ，σ2），其中，μ，σ2都是未知的，今随机取4只灯泡，测得寿命（单位：小时）为1 502，1 453，1 367，1 650，试用矩估计法估计μ和σ.

所以

s=118.61

则有

故μ及σ的估计值分别为1 493小时及118.61小时.

【例7】 设总体X的分布密度为

现从总体中随机抽取10个个体X1，X2，…，X10，经过测试得到样本的观测值如下：1 050，1 100，1 080，1 120，1 200，1 250，1 040，1 130，1 300，1 200.试用矩估计法估计参数λ.

所以

注 以上例题表明矩估计法主要用于数字特征的估计，特别是数学期望和方差的估计.并且总体期望与方差的矩估计量的表达式与总体分布无关.

矩估计法简便、直观，比较常用，但是矩估计法也有其局限性.它要求总体的k阶原点矩存在，若不存在则无法估计.并且矩估计量不具有唯一性.