常见概率分布类型-概率论与数理统计

定理5.1 设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N（μ，σ2）的样本，其样本均值为

则有

证明 根据数学期望和方差的性质，得

【例1】 设总体X～N（2，12），X1，X2，…，X9是来自总体的一组样本，求：

（2） P（1≤X≤3）=P（|X-2|＜1）=2Φ（1）-1=0.682 6

由概率论可知，统计量U服从标准正态分布，即U～N（0，1）.所以确定U的值时，可查标准正态分布表.

解 因为X～N（μ，4），

即

查表得Φ（1.96）≥0.975，Φ（x）单调递增，故

即

n≥1 536.64≈1 537

样本容量应取1 537.

由定理5.1还可以推证下列结论成立.

5.3.2.2 χ2分布

定义5.6 设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N（0，1）的样本，则称统计量

所服从的分布是自由度为n的χ2分布（卡方分布），记为χ2～χ2（n）.

χ2（n）分布含有一个参数n作为自由度.所谓自由度是指独立的随机变量的个数，它是随机变量分布的一个重要参数，经推导χ2（n）分布的概率密度为

χ2分布的概率密度函数曲线如图5.6所示.

图5.6

由图5.6可知，它是非对称分布，是单峰右偏斜的，但偏斜程度随自由度n的增大而变小.当n很大时（一般n≥40），其图形接近正态分布.

可以证明：

（1）χ2分布的期望和方差分别为E（χ2）=n，D（χ2）=2n.

定理5.2 设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N（μ，σ2）的样本，其样本均值和样本方差分别为

则有

即 满足概率等式

构造了χ2分位表供查阅（见附表三），查表方法如下：

P（χ2（15）＞24.996）=0.05

5.3.2.3 t分布

定义5.7 设X～N（0，1），Y～χ2（n），X，Y相互独立，则称统计量

所服从的分布是自由度为n的t分布，记为T～t（n）.

其密度函数为

t分布的密度曲线如图5.7所示，它随n的不同而变化，由于密度函数是偶函数，所以t分布密度函数关于纵轴对称，t分布是对称分布.

图5.7

t分布具有如下特性：

t分布的发现在统计学史上具有划时代的意义，打破了正态分布一统天下的局面，开创了小样本统计推断的新纪元，小样本统计分析由此引起了广大统计科研工作者的重视.

关于t分布还有两个重要的结论：

以上证明略.

同样地，为了方便计算，根据上侧分位数定义，记t分布上侧α（0＜α＜1）分位数为tα（n）.

即 满足概率等式

构造了t分位表供查阅（见附表四），查表方法如下：

例如 给定α=0.05，n=20，在附表四中第一行找到α=0.05，再在第一列找到n=20，观察其纵横交叉点处的数值即为tα =1.724 7，即

P（T＞1.724 7）=0.05

由于t分布的密度函数关于x=0对称，故其分位数有如下关系：t1-α（n）=-tα（n）.

当n＞40时，tα（n）≈uα.

类似地，我们可以给出t分布的双侧α（0＜α＜1）分位数为tα/2（n）.

即 满足概率等式

如果tα（n）为t（n）的上侧α分位数，则

P（T＜tα（n））=1-α；P（T＜-tα（n））=α；P（|T|＞tα（n））=2α(www.xing528.com)

5.3.2.4 F分布

可证明其密度函数为

f（x）的图形如图5.8所示.

图5.8

图5.8中曲线随n1，n2取不同数值而不同，它是非对称分布，但F分布不以正态分布为极限，而总是一个正偏形分布.

关于F分布有下面结论：

为了方便计算，根据上侧分位数（点）定义，记F分布上侧α（0＜α＜1）分位数为Fα（n1，n2）.

即 满足概率等式

构造了F分位表供查阅（见附表五），查表方法如下：

例如 给定α=0.10，n1=8，n2=9，在附表五中选定α=0.10的第一个分表，先在第一行找到自由度8，再在第一列找到自由度9，观察其纵横交叉点处的数值为所求Fα（n1，n2）=2.47.

即

P（F（8，9）＞2.47）=0.1

所以

即

例如 若取n1=10，n2=5，α=0.05，那么从附表五上查得

F0.05（10，5）=4.74

利用公式可得