概率论与数理统计：中心极限定理计算结果

图4.2

这个现象的解释如下：

令Xk（k=1，2，…）表示某一小球在第k次碰到钉子后向左或向右落下这一随机变量，Xk=-1表示向左落下，Xk=1表示向右落下.由题意，Xk的概率分布表为

现令

其中Xk（k=1，2，…）相互独立.则Yn表示这个小球第n次碰到钉子后的位置.我们取底部中间位置为坐标原点.试验表明Yn的密度函数图象为图中底层小球分布的形状，近似正态分布.显然每一Xk（k=1，2，…）都不是正态分布，而是两点分布.

由于定理证明非常复杂，超出我们所学的范围，这里略去不证.

定理4.4对离散型随机变量和连续型随机变量都适用，因为满足李雅普诺夫定理条件的现象十分普遍，所以有相当多的随机变量都服从正态分布，从而使正态分布成为概率论与数理统计中最重要的分布类型.

若定理4.4中的独立随机变量序列{Xn}中每一Xk（k=1，2，…，n）都服从相同的分布，就可以推导出一个重要结论，即独立同分布的中心极限定理.

X～N（nμ，nσ2）

在实际问题中n足够大有时认为n≥50即可，有时放宽后n≥30即能满足精度要求.

【例1】 对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目为一个随机变量，其期望值为2，方差为0.8，且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中，有150～170颗命中的概率.

则80次轰炸，总命中炸弹数在150～170颗的概率为

【例2】 设一批产品的强度服从期望为14，方差为4的分布.每箱中装有这种产品100件.

求：（1）每箱产品的平均强度超过14.5的概率是多少？

（2）每箱产品的平均强度超过期望14的概率是多少？

解 设Xi是第i件产品的强度.显然X1，X2，…，X100相互独立，

定理4.6（拉普拉斯定理） 如果离散型随机变量X服从参数为n，p，q的二项分布B（n，p），其中n＞0，0＜p＜1，q=1-p，则当n充分大时X近似服从参数为np，npq的正态分布N（np，npq）

证明 由于X服从二项分布B（n，p），X表示n次贝努利试验中事件A出现的总次数，p为一次试验中事件A出现的概率，q为一次试验中事件A不出现的概率.令Xi表示第i次试验中事件A出现的次数，显然，X1，X2，…，Xn相互独立，Xi（i=1，2，…，n）服从同一0-1分布，EXi=p，DXi=pq（i=1，2，…，n）.由定理4.5，X～N（np，npq）.

定理4.6说明，n充分大时，计算二项分布的概率有如下近似公式：

这两个公式分别称为局部极限定理和积分极限定理.利用这两个公式近似计算二项分布的概率非常便利.

【例3】 已知每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500颗炮弹中命中5发的概率.

解 设500颗炮弹中命中飞机的炮弹总数为X，显然X服从二项分布.参数为n=500，p=0.01，q=0.99

（1）用二项分布公式计算：

（2）用泊松分布近似计算，λ=np=5

（3）利用正态分布公式近似计算，np=5，npq=4.95

与泊松分布近似计算相比，正态分布近似计算精度较差.

正态分布和泊松分布虽然都是二项分布当n→∞时的极限形式，但泊松分布近似的前提条件是n→∞，p→0，且np→λ定值；而正态分布近似只要求n→∞即可.一般来说，n很大，p很小，np≤5时，用泊松分布近似计算比正态分布近似计算效果要好.(www.xing528.com)

【例4】 某计算机系统有150个终端，各终端使用与否相互独立，若每个终端使用概率为0.4，求同一时间内使用终端数在60～70的概率.

解 设同一时间使用终端数为X，则X服从二项分布.n=150，p=0.4，q=0.6，np=60，npq=62.以正态分布N（60，62）近似作为X的分布.

即同一时间内使用终端数在60～70的概率为0.452 5.

【例5】 某人寿公司在某地区为100 000人保险，规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元.若投保人死亡，则保险公司向其家属一次性赔偿6 000元，有历史资料统计，该地区人口死亡率为0.003 7，求保险公司一年从该地区获得不少于600 000元净收益的概率.

解 设该地区投保人年死亡人数为X，则X服从参数为n=100 000，p=0.003 7，q=0.996 3的二项分布，用正态分布N（np，npq）代替，这里np=370，npq=（19.20）2，即X～N（370，19.202）.

保险公司要获得不少于600 000元净收益，要求

100 000×30-6 000X≥600 000

解得

X≤400

而

即保险公司从该地区获得不少于600 000元净收益的概率为0.940 6.