概率论与数理统计：车贝雪夫大数定律的应用

在概率论中，我们常说，当试验次数n无限增大时，事件Xn发生的频率趋于稳定，收敛于事件a发生的概率.但这种收敛与微积分中函数在自变量的某个变化过程中收敛于某个确定常数是不同的概念.这种收敛是从概率角度出发分析的，叫做依概率收敛.

定义4.1 设X1，X2，…，Xn，…为随机变量序列，简记{Xn}，若存在确定的常数a，使得对于任意给定的正数ε，都有

或

则称当n无限增大时，随机变量序列{Xn}依概率收敛于a.记为

或

依照定义4.1，随机变量序列{Xn}依概率收敛于a，是指对任意ε＞0，下列事件序列

{|X1-a|≥ε}，{|X2-a|≥ε}，…，{|Xn-a|≥ε}，…

的概率构成的数列

P（|X1-a|≥ε}，P（|X2-a|≥ε}，…，P（|Xn-a|≥ε}，…

当n→∞时，以0为极限.

若记

P1=P（|X1-a|≥ε）

P2=P（|X2-a|≥ε）

…

Pn=P（|Xn-a|≥ε）

…

则定义4.1中的第一个极限可以表示为

则{Xn}依概率收敛于0.这是因为对于任意ε＞0，当n充分大时，满足|Xn-0|≥ε的事件只有{Xn=n+1}，而其概率P（Xn=n+1）随n无限增大无限接近于0.比如，取ε=1，则

{|X1-0|≥1}={X1=1}∪{X1=2}

{|X2-0|≥1}={X2=3}

{|X3-0|≥1}={X3=4}

…

{|Xn-0|≥1}={Xn=n+1}

…

这些事件的概率分别为

显然

上述分析过程对任何的ε＞0都成立.这一收敛过程可以从图4.1进行直观的判断.

图4.1

但前一支中

后一支中

即Xn远离0点的概率随n的无限增大趋于0，Xn无限接近0点的概率随n的无限增大趋于1.

定理4.2（车贝雪夫大数定律） 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，其中各随机变量的数学期望分别为EX1，EX2，…，EXn，…，方差分别为DX1，DX2，…，DXn，…，并且对所有的i（i=1，2，…），DXi＜L，L是与i无关的常数，则对任意给定的ε＞0，都有极限(www.xing528.com)

由于对所有的Xi（i=1，2，…），DXi＜L，所以

再由数学期望的性质，Y的数学期望EY为

由车贝雪夫不等式，有

将Y，DY，EY分别代入有

当n→∞时，上式两边取极限得

再由概率的非负性得

车贝雪夫大数定律说明，对于n个相互独立的且具有有限数学期望与方差的随机变量，当n充分大时，经算术平均所得到的随机变量离散程度是很小的，其取值密集于其数学期望的附近.

将车贝雪夫大数定律应用于相互独立的且具有相同分布的随机变量序列，可以得到以下推论.

推论 若X1，X2，…，Xn，…是相互独立的且具有相同分布的随机变量，EXi=a，DXi=σ2（i=1，2，…），则对任意的ε＞0，都有

成立.

证明 因为X1，X2，…，Xn，…相互独立，EXi=a，DXi=σ2＜σ2+1（i=1，2，…），而且

由车贝雪夫大数定律

可得

上述推论可以简单叙述为：对同一随机变量进行多次观察，所有观察值的算术平均值，当n趋于无穷大时依概率收敛于该随机变量的数学期望.

利用车贝雪夫大数定律，我们可以很容易地证明如下贝努利大数定律.

定理4.3 若随机变量X表示n次贝努利试验中事件A出现的次数，p表示一次试验中事件A发生的概率，则对任意给定的常数ε＞0，总有

由定理4.2

即

贝努利大数定律说明这样一个事实：小概率事件在一次试验的结果中几乎是不可能出现的.这个规律称为小概率事件原理.例如，某事件A在一次试验中发生的概率若为P（A）=0.001，说明事件“A在重复试验中发生的频率稳定于0.001”几乎是必然的，由频率的意义，也可以说在1 000次试验中，事件A只发生一次，所以在一次试验中A几乎不发生.应该注意的是，小概率事件的概率值大小是随实际问题确定的，对于不同问题，小概率事件概率大小可以不同，这要根据事件的重要程度而定.例如，若某食品致病的概率为1%，我们不能认为该食品是小概率事件，应该排除该食品；但若一批钮扣次品率为1%，我们可以认为钮扣为次品是小概率事件，接收该批钮扣为合格品.