车贝雪夫不等式-概率论与数理统计

若已知随机变量X的数学期望和方差分别为EX和DX，我们知道，数学期望EX反映了随机变量X的平均值，而方差DX刻划了随机变量X的取值对数学期望EX的离散程度.那么，在已知EX，DX的情况下，如何利用DX具体估计随机变量X对数学期望EX的离散程度，以及近似估计随机变量X的概率分布呢？车贝雪夫不等式解决了这个问题.

定理4.1（车贝雪夫不等式） 设随机变量X的数学期望为EX，方差为DX，则对任意给定的ε＞0，都有

或

证明 显然定理中的两个结论只需证明一个即可，下面分两种情形来证明：

情形（1） X为离散型随机变量.设X的概率函数为

P（X=xk）=pk k=1，2，…

并设在|X-EX|≥ε的范围内，X的可能值为

情形（2） X为连续型随机变量.设X的密度函数为φ（x），X∈R，对X在|X-EX|≥ε范围内的任一点x，都有

因此

【例1】 设X表示投掷一颗骰子出现的点数，对给定的ε=1，2，计算概率P（|X-EX|＜ε），并验证车贝雪夫不等式.

所以

而

所以，ε=1时，车贝雪夫不等式成立.

而

所以，ε=2时，车贝雪夫不等式也成立.

【例2】 已知电站供电网有电灯10 000盏，夜间每盏灯开灯的概率皆为0.8，且各灯“开”或“关”相互独立，试利用车贝雪夫不等式估计同时开灯的数量在7 800～8 200盏之间的概率.

解 设夜晚同时开灯的数量为X，则X是离散型随机变量，服从二项分布，n=10 000，p=0.8，X～B（10 000，0.8）

所以X的数学期望为EX=np=10 000×0.8=8 000

方差为DX=npq=10 000×0.8×0.2=1 600

事件“夜晚同时开灯数在7 800～8 200盏之间”可以表示为

7 800≤X≤8 200

则

-200≤X-EX≤200(www.xing528.com)

即

|X-EX|≤200

而

P（|X-EX|≤200）=P（|X-EX|=200）+P（|X-EX|＜200）

由车贝雪夫不等式，取ε=200时，有

故

P（|X-EX|≤200）＞P（|X-EX|＜200）=0.96

此题由车贝雪夫不等式估计，计算非常简便，但若用二项分布精确计算，概率

计算量大，非常麻烦.

由车贝雪夫不等式估计结果知，事件“夜晚同时开灯数在7 800～8 200盏之间”的概率大于0.96，说明虽然共有10 000盏灯，有96%以上的概率保证夜晚同时开灯数在7 800～8 200盏之间，而“同时开灯数不超过8 200盏”的概率更大.这也说明，只要供应8 200盏灯所需的电力，就有96%以上的把握保证10 000盏灯的使用.这对指导供电部门的供电计划提供了可靠的理论保证，可以达到既保证正常工作，又节约电力的目的.

【例3】 已知离散型随机变量X服从参数λ=3的泊松分布，试用车贝雪夫不等式估计事件|X-3|≥6的概率和|X-3|＜5的概率.

解 由于X～P（3），所以EX=DX=λ=3，由车贝雪夫不等式，

应当注意的是，应用车贝雪夫不等式估计X落入（EX-ε，EX+ε）的概率虽然方便，但精度不高.

【例4】 已知连续型随机变量X～U[-1，3]，即X服从[-1，3]上的均匀分布.

（1）精确计算X∈（0.5，1.5）的概率；

（2）用车贝雪夫不等式估计X∈（0.5，1.5）的概率.

解 （1）因X～U[-1，3]，故X的密度函数为

（2）由于