定义3.5 （X，Y）是二维随机变量，如果E[（X-E（X））（Y-E（Y））]存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记作cov（X，Y），即
cov（X，Y）=E[（X-E（X））（Y-E（Y））]
从协方差的定义可知，它是X的偏差“X-E（X）”与Y的偏差“Y-E（Y）”乘积的数学期望.由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可以为零，其具体表现如下：
（1）当cov（X，Y）＞0时，两个偏差X-E（X）与Y-E（Y）有同时增加或同时减少的倾向，这时称X与Y正相关；
（2）当cov（X，Y）＜0时，两个偏差有X增加而Y减少，或者X减少而Y增加的倾向，这时称X与Y负相关；
（3）当cov（X，Y）=0时，可能由两类情况导致：一类是X与Y的取值毫无关联，另一类是X与Y之间存在某种非线性关系.这时称X与Y不相关.
根据定义可知协方差的性质.
性质1 cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）
证明 由协方差的定义和数学期望的性质可知
cov（X，Y）=E[XY-XE（Y）-YE（X）+E（X）E（Y）]
=E（XY）-E（X）E（Y）
性质2 D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2cov（X，Y）
证明 由方差的定义可知
D（X±Y）=E[（X±Y）-E（X±Y）]2
=E[（X-E（X））±（Y-E（Y））]2
=E[（X-E（X））2+（Y-E（Y））2±2（X-E（X））（Y-E（Y））]
=D（X）+D（Y）±2cov（X，Y）(www.xing528.com)
这两个性质在协方差的计算中非常有用.
关于协方差的性质还有以下几条.
性质3 协方差cov（X，Y）的计算与X，Y次序无关，即
cov（X，Y）=cov（Y，X）
性质4 任意随机变量X与常数C的协方差为零.即
cov（X，C）=0
性质5 对任意常数a，b，有
cov（aX，bY）=abcov（X，Y）
性质6 设X，Y，Z是任意三个随机变量，则
cov（X+Y，Z）=cov（X，Z）+cov（Y，Z）
性质7 若随机变量X，Y相互独立，则
cov（X，Y）=0
【例1】 设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为
试求cov（X，Y）.
由此我们还可以得出X与Y不相互独立.
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