性质1 常数的方差是零，即
D（C）=0（C为常数）
性质2 随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差，即
D（X+C）=D（X）
证明 由方差定义得
D（X+C）=E[（X+C）-E（X+C）]2
=E[X+C-E（X）-C]2
=E[X-E（X）]2
=D（X）
性质3 常数与随机变量乘积的方差等于这个常数的平方与随机变量方差的乘积，即
D（kX）=k2D（X）
证明
D（kX）=E[kX-E（kX）]2
=E[kX-kE（X）]2
=k2E[X-E（X）]2
=k2D（X）
性质4 若随机变量X与Y独立，则
D（X+Y）=D（X）+D（Y）
证明D（X+Y）=E[（X+Y）-E（X+Y）]2
=E[（X-E（X））+（Y-E（Y））]2
=E[X-E（X）]2+2E{[X-E（X）]·[Y-E（Y）]}+E[Y-E（Y）]2
=D（X）+2E{[XY-E（X）Y-XE（Y）+E（X）E（Y）]}+D（Y）
=D（X）+2[E（XY）-E（X）E（Y）-E（X）E（Y）+E（X）E（Y）]+D（Y）
=D（X）+0+D（Y）(www.xing528.com)
=D（X）+D（Y）
推论 有限个相互独立的随机变量之和的方差等于它们的方差之和.
即 若X1，X2，…，Xn相互独立，则
【例5】 设随机变量X的方差为D（X）=2，求D（-2X+3）.
解 由方差性质可得
D（-2X+3）=D（-2X）=（-2）2D（X）=4×2=8
解 因为
所以
故
D（X）=4
解 由数学期望和方差性质可知
即
E（X）=4 D（X）=8
所以
E（X2）=D（X）+[E（X）]2=8+42=24
解 Y的数学期望
方差
一般地，对任何随机变量X，若它的数学期望E（X）和方差D（X）都存在，且D（X）＞0，则称
为X的标准化随机变量，易见X*是一无量纲的随机变量，且E（X*）=0，D（X*）=1，这正是标准化随机变量所具有的特征.特别地，若X～N（μ，σ2），则X的标准化随机变量为
常见分布的数学期望和方差表
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