方差的定义-来自《概率论与数理统计》

随机变量的数学期望反映了随机变量取值平均的大小，但是，有的随机变量取值比较密集，有些则比较分散，因此，还需要了解随机变量取值在平均值附近的分散程度.

例如，有两包棉花，它们的纤维长度都一样，但一包比较整齐，而另一包长短差别很大，因此可以认为前者比后者的质量好.（要考查一批产品的长度，既要考查他的平均长度又要考查各个产品的长度.如果各个产品有的很长，有的很短，即使平均长度达到标准，也不能认为这批产品合格）.我们给出以下定义.

定义3.3 设X是一个随机变量，如果E[X-E（X）]2存在，则称E[XE（X）]2为X的方差，记作D（X），即

D（X）=E[X-E（X）]2

注：①方差D（X）是一个非负实数，有时也可以记做DX；

②方差刻划了随机变量的取值与数学期望E（X）的偏离程度.即方差越小，说明随机变量的取值越密集在它的数学期望附近（取值集中）；方差越大，说明随机变量的取值与它的数学期望的差异越大（取值分散）；

③方差D（X）实际上是随机变量X的函数g（X）=[X-E（X）]2的数学期望；

⑤当X为离散型随机变量时，其概率分布为P（X=xi）=pi，i=1，2，…则

当X为连续型随机变量时，其密度函数为f（x），则

⑥方差的计算式　D（X）=E（X2）-（EX）2

证明

D（X）=E{[X-E（X）]2}

=E[X2-2X·E（X）+（EX）2]

=E（X2）-2E（X）·E（X）+（EX）2

=E（X2）-（EX）2

【例1】 随机变量X服从0-1分布，概率分布表为(www.xing528.com)

（p＞0，p+q=1），求它的方差.

解 已知计算出　E（X）=p

D（X）=（0-p）2q+（1-p）2p=p2q+q2p=pq

【例2】 随机变量X的概率分布为

求X的方差（用两种方法）.

解法一

解法二

解法一

解法二

【例4】 已知连续型随机变量X的密度函数为

求X的方差（用两种方法）

解法一

解法二