数学期望性质分析-概率论与数理统计

假定随机变量X的数学期望存在，利用数学期望的定义可以证明下列关于数学期望的性质都成立.

性质1 常量C的数学期望等于它本身，即

E（C）=C

性质2 常量C与随机变量X乘积的数学期望等于常量C与这个随机变量的数学期望的积，即

E（CX）=CE（X）

证明 当X为离散型随机变量时，设其概率分布为

P（X=xi）=pi， i=1，2，…

则有

当X为连续型随机变量时，设其密度函数为f（x），则

性质3 常数与随机变量之和的期望等于常数与随机变量期望之和.

E（X+C）=E（X）+C

证明 当X为离散型随机变量时，设其概率分布为

P（X=xi）=pi， i=1，2，…

则有

当X为连续型随机变量时，设其密度函数为f（x），则

性质4 一个随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量数学期望的同一线性函数.即

E（kX+c）=kE（X）+c

性质5 两个随机变量和的数学期望等于两个随机变量的数学期望的和.即(www.xing528.com)

E（X+Y）=E（X）+E（Y）

性质6 两个独立的随机变量之积的数学期望等于它们的数学期望的乘积，即若X和Y独立，则有

E（XY）=E（X）E（Y）

推论 有限个相互独立的随机变量乘积的数学期望等于它们的数学期望的乘积.

即对于n个相互独立的随机变量X1，X2，…，Xn，有

解 由数学期望的性质得

【例9】 4人进行射击比赛，每人4发子弹，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分.四人射击的命中率均为0.6，求4人射击总得分的期望.

解 设Xi表示第i个人中弹得分（i=1，2，3，4），则Xi～B（4，0.6）

分布律为：

其期望为

E（Xi）=44.64

总得分

X=X1+X2+X3+X4

E（X）=E（X1）+E（X2）+E（X3）+E（X4）

=44.64×4=178.56