对于随机变量，经常要考虑它的平均值，如平均身高、平均考试分数、测量的平均值等.先看一个例子.
【例1】 某商店向工厂进货，该货物有四个等级：一、二、三和等外，产品属于这些等级的概率依次是0.50，0.30，0.15，0.05.若商店每销出一件一等品获利10.5元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元，问平均销出一件产品获利多少元？
解 假设该商店进货量N件，则平均说来其中有一等品0.50N件，二等品和三等品和等外品数分别为0.30N件、0.15N件、0.05N件.这N件产品总的销售获利为（单位：元）
0.50N×10.5+0.30N×8+0.15N×3+0.05N×（-6）
故平均获利为
定义3.1 当X的可能取值为有限个时，设其概率分布为
P（X=xi）=pi，i=1，2，…，n.
当X的可能取值为可列无穷多时，设其概率分布为
P（X=xi）=pi，i=1，2，…
数学期望简称期望，又称均值，表示随机变量的平均值.
注：符号E（X）可以记为EX，对于连续的随机变量同样可以采用这种记法.
【例2】 甲、乙两人进行射击，X，Y分别表示他们射中的环数，已知它们的概率分布为
试评定他们的射击技术.
解 计算数学期望
E（X）=7×0.1+8×0.3+9×0.3+10×0.3=8.8
E（Y）=7×0.2+8×0.2+9×0.5+10×0.1=8.5
这意味着，如果进行很多次射击，甲射中环数的平均值为8.8环，而乙射中环数的平均值为8.5环，很明显，甲的射击技术比乙的高.
【例3】 设10只同种电器中有2件是废品，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只，若仍是废品，则再扔掉还取一只，求：在取到正品之前，已取出的废品数X的概率分布及其数学期望.
解 设随机变量X为已取出的废品数，其所有可能取值为0，1，2.
【例4】 离散型随机变量X的概率分布为
求：（1）常数C的值；（2）X的数学期望.
解 （1）由离散型随机变量概率分布的基本性质得
（2）X的概率分布为
故数学期望
【例5】 已知二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为(www.xing528.com)
求X的数学期望和Y的数学期望.
解 X，Y的边缘分布分别为
X的数学期望为
Y的数学期望为
3.1.1.2 连续型随机变量数学期望的定义
设连续型随机变量X的密度函数为f（x），则X落在小区间（x，x+Δx）的概率近似地等于f（x+Δx）.由离散型随机变量数学期望的定义可得下述定义.
连续型随机变量的期望E（X）反映了随机变量X取值的“平均水平”.假如X表示寿命，则E（X）就表示平均寿命；假如X表示重量，E（X）就表示平均重量.从分布的角度看，数学期望是分布的中心位置.
【例6】 已知连续型随机变量X的密度函数为
求X的数学期望.
解 因为
所以X的数学期望为
【例7】 随机变量X的分布密度为
求X的数学期望.
解 根据密度函数的性质知
求得
a=4
所以X的密度函数为
又因为
故X的数学期望为
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
