一维随机变量函数的分布-《概率论与数理统计》成果

定义2.21 设g（x）是定义在随机变量X的一切可能值集合上的函数.如果对于X的任一可能取值x，另一随机变量Y都有相应的取值y=g（x）与之对应，则称随机变量Y为随机变量X的函数，记作Y=g（X）.

下面讨论如何根据已知随机变量X的分布寻求随机变量Y=g（X）的分布.

2.7.1.1 一维离散型随机变量函数的分布

【例1】 已知随机变量X的概率分布为

求（1）随机变量Y=X-1的概率分布；（2）随机变量Z=X2的概率分布.

解 （1）由Y=X-1及X的取值知，Y的可能取值为-3，-2，0，2.而

故Y的概率分布为

（2）由Z=X2及X的取值知，Z的可能取值为1，4，9.而

故Z的概率分布为

一般地，设X的概率分布为

记yi=g（xi）（i=1，2，…），如果各yi的值各不相等，则Y=g（x）的概率分布为

若y1，y2，…，yk，…中有相等的值时，则应把这些相等值对应的概率相加，然后写出Y的概率分布.

【例2】 已知随机变量X的概率分布为

求（1）Y=-X2+1的概率分布；（2）Z=X2-X的概率分布.

解 列表

P（Y=-3）=0.10+0.20=0.30，

P（Y=0）=0.15+0.20=0.35，

P（Z=0）=0.25+0.20=0.45，

P（Z=2）=0.15+0.20=0.35，

P（Z=6）=0.10+0.10=0.20.

故Y=-X2+1的概率分布为

Z=X2-X的概率分布为

2.7.1.2 一维连续型随机变量函数的分布

对于连续型随机变量，由随机变量的分布求其函数的分布，就是由随机变量的密度函数求随机变量函数的密度函数的问题.已知随机变量X的密度函数fX（x），为了求x的函数Y=g（X）的密度函数，应先求Y的分布函数，然后再求Y的密度函数.求解步骤如下：

（1）先求Y=g（X）的分布函数FY（y）

D是一个区间，与y有关，此积分不必积出来；(www.xing528.com)

（2）分布函数对y求导得Y的密度函数：fY（y）=F′Y（y）.

【例3】 设随机变量X的密度函数为

求Y=2X-1的概率密度.

解 对任意实数y，随机变量Y的分布函数

利用fY（y）=F′Y（y）可得Y的密度函数

整理得

【例4】 设随机变量X的密度函数为

求随机变量Y=ln X的密度函数.

解 对任意实数y，随机变量Y的分布函数

FY（y）=P（Y≤y）=P（ln X≤y）=P（X≤ey）

因ey＞0，有

即

利用fY（y）=F′Y（y）可得Y的密度函数

【例5】 设连续型随机变量X的密度函数为fX（x），求Y=X2的密度函数.

解 先求Y的分布函数

当y≤0时，

FY（y）=P（Y≤y）=P（X2≤y）=0

当y＞0时，

于是有

利用fY（y）=F′Y（y）可得Y的密度函数

先求V的分布函数

利用fV（v）=F′V（v）可得V的密度函数