联合分布与边缘分布的关系

2.6.2.1 二维离散型随机变量

类似于一维情形，二维离散型随机变量的概率分布仍关注两个方面，一方面是它的所有可能取值，另一方面是取相应值的概率.

定义2.15 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（xi，yj），i，j=1，2，…，称

P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…

为二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布或X和Y的联合分布.（X，Y）的概率分布可用下面的概率分布表来表示：

二维离散型随机变量的概率分布具有下列性质：

（1）pij≥0，i，j=1，2，…

【例1】 袋中有2个白球，3个红球，每次从中任取1球，抽取两次.随机变量

试在以下两种方式下求随机变量（X，Y）的概率分布：（1）无放回抽取；（2）有放回抽取.

解 （X，Y）的可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）.

（1）无放回抽取：应用乘法公式

（2）有放回抽取：事件{X=xi}和事件{Y=yj}相互独立，则

这两种方式下（X，Y）的概率分布可用下表来表示.

【例2】 已知随机变量（X，Y）的概率分布为

求a的值.

解 由概率分布的性质知

【例3】 两封信随机地投入编号为1，2的两个信箱内.用X表示第一封信投入的信箱号码，用Y表示第二封信投入的信箱号码.求（X，Y）的概率分布和分布函数.

解 （X，Y）的可能取值为（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）.由于两封信投入哪个信箱是独立的，所以

P（X=1，Y=1）=P（X=1，Y=2）=P（X=2，Y=1）

=P（X=2，Y=2）=0.5×0.5=0.25

于是（X，Y）的概率分布可表示为

下面求（X，Y）的分布函数F（x，y），如图2.13所示

当1≤x＜2，1≤y＜2时，F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）=P（X=1，Y=1）=0.25；

当x≥2，1≤y＜2时，

图2.13

F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）=P（X=1，Y=1）+P（X=2，Y=1）=0.5；

当1≤x＜2，y≥2时，

F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）=P（X=1，Y=1）+P（X=1，Y=2）=0.5；

当x≥2，y≥2时，

F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）=P（X=1，Y=1）+P（X=1，Y=2）+P（X=2，Y=1）+P（X=2，Y=2）=1；

当x＜1或y＜1时，{X≤x，Y≤y}是不可能事件，

F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）=0.

于是（X，Y）的分布函数为

2.6.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布

定义2.16 二维随机变量（X，Y）中，分量X或Y的概率分布称为（X，Y）关于X或Y的边缘分布.

若X和Y联合分布为

P（X=xi，Y=yj）=pij

则X，Y的边缘分布分别为

【例4】 求本节例1中无放回抽取情形下二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布.

解 无放回抽取：计算概率

由此得（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布分别为

二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布与边缘分布也可用下表表示：

所以，例4中二维随机变量（X，Y）的概率分布与边缘分布可表示为

2.6.2.3 二维连续型随机变量

定义2.17 设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y），如果存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y都有

则称（X，Y）为二维连续型随机变量.函数f（x，y）为二维随机变量（X，Y）的概率密度函数或X和Y的联合密度函数.

密度函数f（x，y）具有下列性质：

（1）f（x，y）≥0；

几何上，概率密度函数f（x，y）的图像可描绘成曲面z=f（x，y），通常称这个曲面为分布曲面.分布曲面总位于xOy平面的上方.

空间坐标系中，介于曲面z=f（x，y）与xOy平面之间的空间图形的体积为1.

（3）设D为xOy平面上任一区域，则（X，Y）落在D内的概率为(www.xing528.com)

概率P（（X，Y）∈D）在几何上表示以分布曲面z=f（x，y）为顶，区域D为底的曲顶柱体的体积.具体使用上式时，要注意积分范围是f（x，y）的非零区域与区域D的交集.

下面介绍两种常见的连续型随机变量的分布：

（1）均匀分布 设随机变量（X，Y）的密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（x，y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）.

（2）正态分布 设随机变量（X，Y）的密度函数为

【例5】 已知二维随机变量（X，Y）的密度函数为

求（1）（X，Y）的分布函数F（x，y）；（2）概率P（X+Y＜1）.

解 （1）当x＞0且y＞0时，

当x与y不同时大于0时，

故（X，Y）的分布函数为

（2）f（x，y）的非零区域与（X，Y）取值范围x+y＜1的交集如图2.14所示，即区域

D={（x，y）|0≤x≤1-y，0≤y≤1}

图2.14

于是有

【例6】 已知二维随机变量（X，Y）的密度函数为

求（1）系数A；（2）概率P{（X，Y）∈D}，其中D为直线y=x，x=1及x轴所围成的区域.

故

（2）如图2.15所示，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x}，于是有

图2.15

2.6.2.4 二维连续型随机变量的边缘分布

设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y），密度函数为f（x，y），则X的分布函数为

上式两边对x求导，可得X的密度函数为

同理，Y的分布函数、密度函数分别为

fX（x），fY（y）分别称为（X，Y）关于X，Y的边缘密度函数，它们具有一维连续型随机变量密度函数的性质.

【例7】 已知二维随机变量（X，Y）的密度函数为

求（1）A的值；（2）（X，Y）关于X、Y的边缘密度函数.

解 （1）由密度函数的性质知

当x取其他值时，

fX（x）=0

于是得X的密度函数为

同理可得Y的密度函数为

【例8】 已知二维随机变量（X，Y）的密度函数为

求（X，Y）关于X、Y的边缘密度函数.

解 如图2.16（1）所示.

当0≤x≤1时，有

当x取其他值时，

于是得X的密度函数为

图2.16

如图2.16（2）所示，当0≤y≤1时，有

当y取其他值时，

于是得Y的密度函数为

注：由联合分布可以确定边缘分布，而已知边缘分布一般不能确定联合分布.如果X和Y独立，则可由边缘分布确定联合分布.