正态分布概率计算与3σ准则

正态分布也叫高斯分布，常用来描述随机变量在某一确定值附近取值较为集中，而在该值两侧的分布又较为对称的分布情况.正态分布是应用最广泛的一种连续型分布，如零件的尺寸、纤维的强度和张力、农作物的产量、小麦的穗长、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等，都服从或近似服从正态分布.

定义2.12 设随机变量X的密度函数为

其中μ，σ为常数，且σ＞0，则称随机变量X服从参数为μ，σ2的正态分布，记作X～N（μ，σ2）.

由泊松积分知

正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线，μ是正态分布的中心，且在x=μ附近取值的可能性大，在两侧取值的可能性小，μ±σ是该曲线的拐点，如图2.6所示.μ决定了图形的位置，当σ不变，μ增大（减小）时，图形形状不变，位置向右（左）平移，如图2.7（1）所示；σ决定了图形的陡峭程度或平缓程度，如图2.7（2）所示.固定μ改变σ，图形的位置不变，形状改变，σ越大，曲线越平缓，σ越小，曲线越陡峭.

图2.6

图2.7

正态分布N（μ，σ2）的分布函数为

分布函数F（x）图像如图2.8所示.

图2.8

图2.9

当正态分布N（μ，σ2）中μ=0，σ=1时，称之为标准正态分布，记作N（0，1）.将μ=0，σ=1代入正态分布的密度函数，得标准正态分布N（0，1）的密度函数为

其图像如图2.9所示.

标准正态分布的密度函数φ（x）除了具有一般密度函数的性质外，还有如下性质：

（1）φ（x）有各阶导数；

（2）φ（-x）=φ（x），即φ（x）是偶函数，图像关于y轴对称；

（3）φ（x）在区间（-∞，0]单调增加，在区间[0，+∞）单调减少，在x=0取得最大值

（4）φ（x）的两个拐点：x=-1，x=1；

标准正态分布N（0，1）的分布函数为

若X～N（0，1），Φ（0）=P（X≤0）=0.5，如图2.10所示.

图2.10

图2.11

若X～N（0，1），由密度函数φ（x）对称性知，图2.11中两块阴影部分面积相同.即

所以

P（X≤-x）=P（X≥x）=1-P（X≤x）

即

Φ（-x）=1-Φ（x）

为了计算方便，书后附表给出了标准正态分布的分布函数值表，对x≥0给出了Φ（x）的值，利用这张表可以算得

Φ（-x）=1-Φ（x）

P（X＞x）=1-Φ（x）

P（a＜X＜b）=Φ（b）-Φ（a）

P（|X|≤a）=2Φ（a）-1

P（|X|≥a）=2Φ（-a）

【例9】 已知X～N（0，1），求P（-2＜X＜1），P（|X|≤1.86），P（|X|≥1.96）.

解 查标准正态分布表知(www.xing528.com)

Φ（1）=0.841 3， Φ（1.86）=0.968 6

Φ（2）=0.977 2， Φ（1.96）=0.975 0

所以

P（-2＜X＜1）=Φ（1）-Φ（-2）=Φ（1）-[1-Φ（2）]

=0.841 3-1+0.977 2=0.818 5

P（|X|≤1.86）=2Φ（1.86）-1=2×0.968 6-1=0.937 2

P（|X|≥1.96）=2Φ（-1.96）=2[1-Φ（1.96）]

=2（1-0.975 0）=0.05

标准正态分布的重要性在于：任何一个一般正态分布都可通过线性变换转化为标准正态分布.

由以上定理，可得到实际应用中的计算公式.若X～N（μ，σ2），则

【例10】 设随机变量X～N（10，22），求P（|X-10|＜2）.

P（|X-10|＜2）=P（|U|＜1）=2 Φ（1）-1

=2×0.841 3-1=0.682 6

【例11】 若X～N（μ，σ2），且P（X≤-5）=0.045，P（X≤3）=0.618，求μ与σ.

查表知

联立（1）、（2）解之得

μ=1.8， σ=4

【例12】 已知某批材料的强度X～N（200，182），（1）求从中取1件材料的强度不低于180的概率；（2）如果所用材料要以99%的把握保证强度不低于150，问这批材料是否符合要求？

解 （1）任取1件材料的强度不低于180的概率

（2）判断这批材料是否符合要求，即是看P（X≥150）是否不小于99%，而

所以这批材料符合要求.

【例13】 设X～N（μ，σ2），求P（|X-μ|＜kσ）.

P（|X-μ|＜kσ）=P（|U|＜k）=2Φ（k）-1

可得

P（|X-μ|＜σ）=2Φ（1）-1=0.682 6

P（|X-μ|＜2σ）=2Φ（2）-1=0.954 4

P（|X-μ|＜3σ）=2Φ（3）-1=0.997 4

上式表明，若X～N（μ，σ2），则X落在区间（μ-3σ，μ+3σ）内的概率达到99.74%.因此当确认一个数据X来自正态分布N（μ，σ2）时，总认为该数据满足

|X-μ|＜3σ

这就是著名的“3σ准则”.