定义2.11 若连续型随机变量X的密度函数可表示为
其中λ＞0，则称X服从参数为λ的指数分布，记作X～E（λ）.密度函数φ（x）的图像如图2.5所示.
图2.5
容易得出
若X～E（λ），其分布函数满足：
当x≤0时，
当x＞0时，
所以X的分布函数可表示为
指数分布常用来近似地表示各种“寿命”的分布，如随机服务系统的时间，一些消耗性产品的寿命（如电子原件、灯泡），放射性元素的衰变期等都可假定服从一定参数的指数分布.指数分布在排队论和可靠性理论中有着广泛的应用.指数分布中参数λ表示产品的损坏率.
假设某种电子元件的寿命X～E（λ），则产品到t时刻发生故障的概率为
P（X≤t）=F（t）=1-e-λt
产品的可靠度即到t时间无故障的概率为
R（t）=P（X＞t）=1-F（t）=e-λt
【例5】 某产品寿命X～E（λ），经试验，该产品使用7 000小时以内发生了10次故障，试求该产品从开始使用到1 000小时以后才发生故障的概率.
解 由题意知：产品的损坏率（故障率）
则该产品寿命超过1 000小时的概率为
【例6】 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从参数λ=0.002的指数分布，求该热水器在100小时内需要维修的概率.
解法一 X的密度函数为
该热水器在100小时内需要维修的概率为
解法二 X的分布函数为
该热水器在100小时内需要维修的概率为(www.xing528.com)
P（X≤100）=F（100）=1-e-0.2≈0.181 3
比较上述两种解法可知，在求服从指数分布的随机变量在某范围内取值的概率时，利用分布函数求解更方便.
每个电子元件使用寿命不超过1 000小时的概率为
P（X≤1 000）=F（1 000）=1-e-1
三个电子元件并联使用时，事件“仪器使用寿命不超过1 000小时”相当于“三个电子元件的使用寿命都不超过1 000小时”.
方法1 设Ai=“第i个电子元件的寿命不超过1 000小时”，i=1，2，3.
事件A1A2A3表示三个电子元件的寿命都不超过1 000小时，由于三个电子元件中每个电子元件使用寿命是否超过1 000小时是相互独立的，故
P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=（1-e-1）3
方法2 设三个电子元件中寿命不超过1 000小时的个数为Y，则Y～B（3，1-e-1）.仪器使用寿命不超过1 000小时的概率为
解 X的分布函数为
（1）任取一只灯管，能正常使用1 000小时以上的概率为
（2）一只灯管已经正常使用了1 000小时，还能使用1 000小时以上的概率为
由（1）（2）可知，灯管寿命超过1 000小时的概率等于已使用1 000小时的条件下还能使用1 000小时以上的概率，这种性质称为指数分布的“无记忆性”.
若随机变量X对任意的s＞0，t＞0都有
则称X的分布具有无记忆性.
指数分布具有无记忆性.若某元件或生物的寿命服从指数分布，则上式表明，如果已知其寿命长于s年，则再“活”t年的概率与s无关，即对过去的时间没有记忆.也就是说只要在某时刻s仍“活着”，它剩余寿命的分布与原来寿命的分布相同.所以人们也戏称指数分布是“永远年轻的”.
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