均匀分布和概率论与数理统计-知识点

定义2.10 若连续型随机变量X的密度函数可表示为

则称随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布，记作X～U（a，b）.密度函数φ（x）的图像如图2.3所示.

图2.3

容易得出

若X～U（a，b），则其分布函数满足

当x＜a时，

当a≤x＜b时，

当x≥b时，

F（x）=1

所以X的分布函数可表示为

分布函数X的图像如图2.4所示.

图2.4

均匀分布的均匀性：若连续型随机变量X～U（a，b），则X落入任何子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与其在区间[a，b]中的位置无关.如[c，d]⊂[a，b]，则

【例1】 设电阻值R是一随机变量，均匀分布在900Ω～1 100Ω之间，求R落在950Ω～1 050Ω的概率.(www.xing528.com)

解法一 R的概率密度为则R落在950Ω～1 050Ω的概率

解法二 由均匀分布的均匀性得R落在950Ω～1 050Ω的概率

【例2】 设随机变量X～U（2，5），求对X进行三次测试中，至少有2次观察值大于3的概率.

解 由于X～U（2，5），所以X的密度函数为

1次测试中观测值大于3的概率为

解 （1）由于X～U（-a，a）（a＞0），所以X的密度函数为

【例4】 设随机变量Y～U（-1，3），试求方程4x2+4Yx+（Y+2）=0有实根的概率.

解 由于Y～U（-1，3），所以Y的密度函数为

设A={方程4x2+4Yx+（Y+2）=0有实根}