泊松分布：概率论与数理统计中的重要离散分布

泊松分布作为二项分布的近似，由法国数学家泊松（Poission S.D.1781—1840）于1837年首次提出.

定义2.6 若随机变量X的概率分布为

式中，λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X～P（λ）.

泊松分布是一种重要的离散分布，它适用于稠密性问题，即大量观察试验中，小概率事件发生的次数问题.如单位时间内电话总机收到的呼叫次数，车站候车的旅客数，放射性物质单位时间内发射的粒子数，织布机上断线头数，零件表面一定范围内的疵点数等，都可视为服从泊松分布的随机变量.

【例6】 已知某电台每分钟被呼叫的次数X服从参数λ=5的泊松分布，求电台每分钟被呼叫2次的概率.

解 因为X～P（5），所以电台每分钟被呼叫2次的概率为

【例7】 设离散型随机变量X服从参数为λ（λ＞0）的泊松分布，且已知P（X=1）=P（X=2），求概率P（X=4）.

解 因为X～P（λ）且P（X=1）=P（X=2）

注意到λ＞0，则求得λ=2，于是得

泊松分布的一个重要应用就是用来近似二项分布，以减少二项分布中的计算量.

定理2.2（泊松定理） 设随机变量Xn（n=1，2，…）服从二项分布B（n，pn），即

其中pn（0＜pn＜1）与n有关，如果当n→+∞时，有npn→λ，则

对固定的k有

从而

对任意的k（k=0，1，2，…）成立.定理得证.

泊松定理是在npn→λ条件下获得的，故在二项分布B（n，p）的计算中，当n很大，p很小，乘积λ=np大小适中时，可用泊松分布近似.

【例8】 已知一批产品的次品率为0.015，现将该产品100件装入一箱内，求该箱内恰有一件次品的概率.

分析 从一批产品中抽取100件相当于做100次重复试验，每次试验结果只有两种可能：“正品”或“次品”；每次抽到次品的概率p=0.015；每件产品是正品还是次品对其他各件产品是否是次品没有影响.该试验为试验次数n=100的贝努利试验.

解 设X表示100件产品中的次品数，则X～B（100，0.015）.若用二项分布公式计算，事件“该箱100件产品中恰好有1件次品”的概率为

计算量很大，非常麻烦.

由于本题中n=100≥10，p=0.015＜0.1，故可用参数λ=np=1.5的泊松分布近似代替，即

比较以上两种运算结果，当n很大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布不仅计算方便，精确度也比较高.利用泊松分布近似代替二项分布的方便之处还在于泊松分布有现成的表可直接查到相应概率值，免去计算的复杂性.

【例9】 在一个繁忙的交通路口，一辆机动车发生交通事故的概率为p=0.000 1，在某段时间内有5 000辆机动车通过这个路口，求有车发生交通事故的概率.

分析 观察5 000辆机动车相当于做5 000次重复试验，每次试验结果只有两种可能：“发生交通事故”或“没发生交通事故”；每辆车发生交通事故的概率p=0.000 1；各辆车是否发生交通事故互不影响.该试验为试验次数n=5 000的贝努利试验.(www.xing528.com)

解 设X表示5 000辆机动车中发生交通事故的车辆数，则X～B（5 000，0.000 1）.由于n很大，p很小，可用参数λ=np=5 000×0.000 1=0.5的泊松分布近似代替.

先求无车发生交通事故的概率，查泊松分布表得

P（X=0）=P0.5（0）=0.606 5

所以，有车发生交通事故的概率为

P（X≥1）=1-P0.5（0）=1-0.606 5=0.393 5

【例10】 为保证设备正常工作，需配备适量的维修工.现有同类设备300台，若各台工作相互独立，且每台故障率均为0.01，通常情况下，一台设备故障可有一个人来处理，问：

（1）至少需要配备多少工人，才能保证发生故障时，不能及时维修的概率低于0.01？

（2）若3个人同时负责100台设备，求设备发生故障时，不能及时维修的概率.

分析 观察300台设备相当于做300次重复试验，每次试验结果只有两种可能：“发生故障”或“没发生故障”；每台设备发生故障的概率p=0.01；各台设备工作相互独立；该试验为试验次数n=300的贝努利试验.由于一台设备故障可有一个人来处理，所以“不能及时维修”意味着发生故障的设备数大于配备的工人数.

解 （1）设X表示300台设备中同一时刻发生故障的设备数，则X～B（300，0.01），可用参数λ=np=300×0.01=3的泊松分布近似代替.

假设至少需要配备m名工人，才能保证发生故障时，不能及时维修的概率低于0.01.由题意知

P（X＞m）＜0.01

则

P（X≤m）＞1-0.01=0.99

查泊松分布表知

P（X≤8）=0.9962＞0.99

因此，至少需要配备8名工人才能满足要求.

（2）设Y表示100台设备中同一时刻发生故障的设备数，则Y～B（100，0.01）.可用参数λ=np=100×0.01=1的泊松分布近似代替.

查泊松分布表，求得不能及时维修的概率为

P（Y＞3）=1-P（Y≤3）=1-0.98 101=0.01 899