定义2.5 如果随机变量X的概率分布为
其中0＜p＜1，q=1-p，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）.容易验证
由此可见，P（X=k）恰好是二项式（p+q）n的展开式中第k+1项，二项分布因此而得名.
当参数n=1时，二项分布就转化为0-1分布，记作X～B（1，p），其概率分布为
二项分布是一种应用极为广泛的离散分布，譬如：
·某射手每次射击“中靶”的概率为0.8，则该射手10次射击中中靶数X服从参数为n=10，p=0.8的二项分布B（10，0.8）.
·小白鼠接受一定剂量某种毒物时，其死亡率为70%.若对甲、乙、丙3只小白鼠逐只实验，则3只小白鼠中的死亡数X服从参数为n=3，p=0.7的二项分布B（3，0.7）.
【例1】 已知某产品的次品率为0.1，现从100件产品中有放回地抽取5件，求抽取的5件产品中次品数的概率分布.
分析 从100件产品中有放回地抽取5件相当于做5次重复试验，每次试验结果只有两种可能：“正品”或“次品”；每次抽到次品的概率p=0.1；由于是有放回抽取，所以每次抽到正品还是次品不受其他各次试验的影响，即各次试验相互独立.该试验为试验次数n=5的贝努利试验.
解 设X表示5次抽取中出现的次品数，则X～B（5，0.1），其概率分布为
【例3】 （能源供应问题）设9名工人间歇性的使用电力，任何一刻每名工人以同样的概率0.2需要一单位的电力（比如1小时有12分钟需要电力），各工人相互独立地工作，问在同一时刻至少7名工人同时需要供应一个单位电力的概率是多少？
分析 考查9名工人相当于做9次重复试验，每次试验结果只有两种可能：“需要一单位电力”或“不需要一单位电力”；每名工人需要一单位电力的概率p=0.2，各工人相互独立地工作，该试验为试验次数n=9的贝努利试验.
解 设同一时刻需要供应1单位电力的人数为X，则X服从参数为n=9，p=0.2的二项分布B（9，0.2），其概率分布为
同一时刻至少7名工人同时需要供应一个单位电力的概率为
结果表明，若在同一时刻只供应6个单位电力，则超负荷的概率为0.000 3，或者说能够满足工人生产需要的概率达0.999 7.我们可以根据计算结果合理安排生产和能源供应，避免造成更多浪费现象.
对于二项分布，在实际应用中还经常讨论其最可能值.
服从二项分布B（n，p）的随机变量X共有n+1个可能取值.一般来说，X取各个值的概率是不相同的，我们把使概率Pn（k）达到最大的k值记为k0，并称之为二项分布的最可能值.
因为Pn（k0）最大，比较Pn（k0-1），Pn（k0）和Pn（k0+1）应有如下关系式成立：
由不等式（1）得(www.xing528.com)
k0≤（n+1）p
同理，由不等式（2）可得
k0≥（n+1）p-1
从而
（n+1）p-1≤k0≤（n+1）p
由于k0为整数，故有
其中[（n+1）p]为不超过（n+1）p的最大整数.
结果表明，若X～B（n，p），当（n+1）p为整数时，随机变量X有两个最可能值.如X～B（9，0.2），其两个最可能值分别为（n+1）p=2和（n+1）p-1=1.当（n+1）p非整数时，X只有一个最可能值.如X～B（6，0.2），其最可能值为[（n+1）p]=[1.4]=1.
【例5】 某批产品有80%的一等品，进行重复抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品的最大可能数量.
解 设X表示抽取的4个样品中一等品个数，则X～B（4，0.8）.由于
（n+1）p=（4+1）×0.8=4
所以4个样品中一等品最可能是3个或4个.
对于二项分布，当n很大时，Pn（k）的计算量较大，于是，引入一种新的分布，即泊松分布，来近似代替二项分布.
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