离散型随机变量的分布

离散型随机变量的描述分为两个方面，一方面是它的所有可能取值，另一方面是取相应值的概率，这两方面构成了离散型随机变量的概率分布.

定义2.3 设离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xk，…，X取各个可能值的概率为

P（X=xi）=pi， i=1，2，…，k，…

称上式为离散型随机变量X的概率分布（或分布律）.随机变量X的概率分布也可用如下列表的形式给出：

或用矩阵的形式来表示

离散型随机变量的概率分布具有下列性质：

性质1 非负性 pi≥0（i=1，2，…）；

【例1】 袋中装有2个红球，3个白球，共5个球，每次从中任取一球，直到取到白球为止.试在无放回取球和有放回取球两种情形下，分别求取球次数X的概率分布.

解 （1）无放回取球：X的可能取值为1，2，3，相应的概率分别为

所以，X的概率分布为

（2）有放回取球：X的可能取值为1，2，…，相应的概率分别为

X的概率分布可表示为

P（X=k）=0.4k-1×0.6， k=1，2，…

【例2】 某小组有6名男生，4名女生，从中任选2人出去参观，求所选2人中男生数目X的概率分布及分布函数.(www.xing528.com)

解 X的可能取值为0，1，2，相应的概率分别为

所以，X的概率分布为

亦可表示为

X的可能取值为0，1，2.将（-∞，+∞）分成四个区间，分段讨论X的分布函数F（x）的取值：

当x＜0时，{X≤x}是不可能事件，故

F（x）=P（X≤x）=0；

当0≤x＜1时，在区间（-∞，x]内X仅有一个可能取值即X=0，故

当1≤x＜2时，在区间（-∞，x]内X有两个可能取值即x=0和X=1，故

当x≥2时，在区间（-∞，x]内包含X的所有可能取值，故

F（x）=P（X≤x）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=1.

于是，得到X的分布函数为