分布函数及其性质-概率论与数理统计

定义2.2 设X是一随机变量，对任意实数x，称

F（x）=P（X≤x）

为随机变量X的分布函数.有时也带下标即用FX（x）以表明是X的分布函数.

从分布函数定义可知，任一随机变量都有一个分布函数，有了分布函数，与随机变量X有关事件的概率都可以用分布函数表示.例如，对任意实数a与b，有

P（X＜a）=F（a-0），

P（X=a）=F（a）-F（a-0），

P（X＞a）=1-F（a），

P（X≥a）=1-F（a-0），

P（a＜X≤b）=F（b）-F（a），

P（a≤X≤b）=F（b）-F（a-0），

P（a＜X＜b）=F（b-0）-F（a），

P（a≤X＜b）=F（b-0）-F（a-0）.

其中F（a-0）表示分布函数在a点的左极限.(www.xing528.com)

由分布函数的定义可得其如下基本性质：

定理2.1 设随机变量X的分布函数为F（x），则

（1）单调性 F（x）是单调不减函数，即x1＜x2时，有F（x1）≤F（x2）；

（2）有界性 对任意的x，有0≤F（x）≤1，且

（3）右连续性 F（x）是右连续函数，即对任意的x0，有

证明从略.

【例6】 设随机变量X的分布函数为

求P（X=1）.

【例7】 设随机变量X的分布函数为

求常数a，b的值及概率P（｜X｜＜1）.

解 由分布函数的性质知

于是得a=-1，b=1.所以