贝叶斯公式在《概率论与数理统计》中

在许多实际问题中，还经常遇到与全概公式所解决问题对应的另一类问题.即已知某一事件已经发生，要求出这个事件的发生是由某种“因素”引起的概率.解决这类问题的一种最重要的方法就是贝叶斯公式.

定理1.2 若A1，A2，…，An构成一个完备事件组，且P（Ai）＞0（i=1，2，…，n），则对任一概率不为零的事件B，有

证明 由乘法公式，得

P（AkB）=P（Ak）P（B|Ak）=P（B）P（Ak|B）

从而

又由于A1，A2，…，An构成完备事件组，由全概率公式可得：

将此式代入上式，即有

这就是著名的贝叶斯（Bayes）公式，也称逆概公式.

【例5】 已知男性中有5%是色盲患者，女性中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为22∶21的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解 以A记事件“任选一人是色盲患者”，以B记事件“任选一人是男性”，依题意有

由贝叶斯公式得

【例6】 某电子设备制造厂所用的元件是三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据：

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.

（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.(www.xing528.com)

解 设A表示“取到的是一只次品”，Bi（i=1，2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.由题意得

P（B1）=0.15，P（B2）=0.80，P（B3）=0.05

P（A|B1）=0.02，P（A|B2）=0.01，P（A|B3）=0.03

（1）由全概率公式得

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）=0.012 5

（2）由贝叶斯公式得

以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大.

全概率公式给了我们一个计算“多因一果”事件中“结果”发生概率的公式.反之，若结果B已发生，求结果B是由导致B发生的某个原因引起的可能性，则可用贝叶斯公式解决.也就是说，贝叶斯公式常用于已知试验结果，寻找某种原因发生的可能性的计算.使用全概率公式或贝叶斯公式解题时，通常采用以下解题步骤：

（1）描述“多因一果”事件中各个原因A1，A2，…，An和结果B；

（2）求出每个原因发生的概率P（Ai），i=1，2，…，n；

（3）求各原因Ai对结果B的影响程度，即P（B|Ai），i=1，2，…，n；

（4）如果求结果B发生的概率，则代入全概率公式

如果已知B已经发生，求它由其中某个原因（如第k个原因）所引起的概率，即求条件概率P（Ak|B），需要代入贝叶斯公式

需要注意的是，使用全概率公式或贝叶斯公式都需要找到一个完备事件组A1，A2，…，An，将A1，A2，…，An看作是导致事件B发生的原因，这些原因的概率往往是已知的或容易求出的.贝叶斯公式中，等式右边分母实际上就是P（B），因此，若P（B）已经由全概率公式计算出来，那么在用贝叶斯公式计算P（Ak|B）时，分母可直接代入P（B）.