全概率公式-从《概率论与数理统计》学到的技巧

【例1】 求1.4节例5中的P（B），P（C）.

根据乘法公式，丙抽到难签的概率为

以上计算结果表明，甲、乙、丙三人各自抽到难签的概率是相等的，与他们抽签的先后次序无关.这充分证实了我们日常生活中用抽签的办法处理问题的合理性.

例1中所用到的方法可以推广到一般情况，即下面的全概率公式.

定理1.1（全概率公式） 设事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组，且P（Ai）＞0（i=1，2，…，n）则对任一事件B，有

P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+…+P（An）P（B|An）

即

证明 由于A1，A2，…，An构成完备事件组，因此有

B=BΩ=B（A1+A2+…+An）=BA1+BA2+…+BAn

由于A1，A2，…，An两两互斥，因而BA1，BA2，…，BAn也两两互斥，如图1.7.

图1.7

由加法公式可得

P（B）=P（BA1）+P（BA2）+…+P（BAn）

再根据乘法公式得

全概率公式是概率论的一个基本公式，当事件B比较复杂，而B的发生受多个因素Ai影响，且各因素Ai发生的概率P（Ai）及Ai对B发生影响的大小P（B|Ai）都比较容易计算或为已知时，可以利用全概率公式求解.

【例2】 保险公司认为某险种的投保人可以分成两类.一类为容易出事故者，另一类为安全者.统计表明：一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者这个概率则减少为0.1.若假定第一类人占此险种投保人的比例为20%.现有一个新的投保人来投保此险种，问该投保人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大？(www.xing528.com)

【例3】 甲袋中有2个黑球，3个白球，乙袋中有1个黑球，3个白球，丙袋中有3个黑球，1个白球.从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球放入丙袋，最后从丙袋中任取一球，求最后取到白球的概率.

解 设事件A，B，C分别表示从甲、乙、丙袋中取出白球，则题目所求为P（C）.由题意可得

根据全概率公式得

【例4】 据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患肺癌的概率是多少？

解 以B记事件“患肺癌”，以A记事件“吸烟”，依题意有

将数据代入得

解之得