概率论与数理统计-概率性质

利用概率的公理化定义（非负性、正则性与可列可加性），可以推导出概率的一系列性质，下面我们给出一些常用的性质.

概率的正则性说明必然事件Ω的概率为1，那么可想而知，不可能事件Φ的概率应该为0，下面这一性质正说明了这一点.

性质1 不可能事件的概率为零，即P（Φ）=0.

证明 由于任何事件与不可能事件之并仍是此事件本身，所以

Ω=Ω+Φ+Φ+…+Φ+…

因为不可能事件与任何事件是互斥的，故由可列可加性公理得

P（Ω）=P（Ω）+P（Φ）+…+P（Φ）+…

从而由P（Ω）=1得

P（Φ）+P（Φ）+…=0

再由非负性公理，必有

P（Φ）=0

结论得证.

概率的可列可加性说明了对可列个两两互斥的事件A1，A2，…，An，…，其可列和的概率可以分别求之然后再相加，那么对有限个两两互斥的事件A1，A2，…，An，…，其有限和的概率是否也可以分别求之然后再相加呢？下面这一性质回答了该问题.

性质2 概率具有有限可加性，即若有限个事件A1，A2，…，An两两互斥，则有

P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）

证明 对A1，A2，…，An，Φ，Φ，…应用可列可加性，得

P（A1+A2+…+An）=P（A1+A2+…+An+Φ+Φ+…）

=P（A1）+P（A2）+…+P（An）+P（Φ）+P（Φ）+…

=P（A1）+P（A2）+…+P（An）

结论得证.

由有限可加性，我们就可以得到下面求对立事件概率的公式.

性质3 对任意一个事件A，有

即得

可以想象：当B被A包含时（即B发生必然导致A发生），说明事件A比事件B更容易发生，那么B发生的概率不应该比A发生的概率大，下面这一性质的推论说明了这一点.

性质4 如果A⊃B，则

P（A-B）=P（A）-P（B）

证明 因为A⊃B，所以A=B+A-B，且B和A-B互斥，由有限可加性得

P（A）=P（B）+P（A-B）

即得

P（A-B）=P（A）-P（B）

结论得证.

由性质4易得如下推论.

推论（单调性） 若A⊃B，则P（A）≥P（B）

很容易举例说明，该推论的逆命题不成立，即由P（A）≥P（B）无法推出A⊃B.

性质5 设A，B是任意的两个事件，则

P（A-B）=P（A）-P（AB）

证明 因为A-B=A-AB且AB⊂A，由性质4得(www.xing528.com)

P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）

当事件两两互斥时，有限可加性和可列可加性给出了求事件和的概率的公式.那么对于一般的事件（不一定互斥），又如何求事件和的概率呢？下面这一重要性质将会解决该问题.

性质6（加法公式） 设A，B是任意的两个事件，则

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

证明 因为A+B=A+（B-A∩B）

图1.5

如图1.5，显然，B⊃A∩B，而A与B-A∩B互斥，所以，由有限可加性及性质4得

P（A+B）=P[A+（B-A∩B）]

=P（A）+P（B-A∩B）

=P（A）+P（B）-P（A∩B）

=P（A）+P（B）-P（AB）

该结论也可以推广到有限多个事件的情形，例如，对任意的三个事件A，B，C，有

P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

用数学归纳法可以证明如下n个任意事件的加法公式

【例1】 根据某医学研究的调查，某地区居民血型的分布为：O型为35%，A型为18.3%，B型为29.7%，AB型为17%，现有一位A型血的病人需要输血，若在该地区任选一人，求其能为病人输血的概率.

解 设事件O表示“任选一人为O型血液”，A表示“任选一人为A型血液”，C表示“任选一人能为病人输血”，由于只有血液为A型或O型的人才能为A型血的病人输血，因此有

C=A+O

又因为A与O互斥，所以，

P（C）=P（A+O）=P（A）+P（O）

=18.3%+35%

=53.3%

【例2】 袋中装有6只白球，4只红球，从中任取3只，求取出的3只球中至少有1只红球的概率.

解法一 设事件A表示“取出的3只球中至少有1只红球”，事件Bi表示“取出的3只球中有i只红球”，i=1，2，3，则

A=B1+B2+B3

且B1，B2，B3互斥，因此，

解法二 仍设A表示“取出的3只球中至少有1只红球”，则其对立事件A表示“取出的3只球都是白球”，于是，

因此，由性质3有

比较以上两种解法，显然第二种解法要简单得多.

一般地，若一个事件包括情况比较多，则计算其发生的概率比较麻烦，这时它的对立事件包括的情况则比较少，计算其发生的概率就比较简单.因此，我们可以先计算对立事件发生的概率，然后用性质3就得到所求事件的概率.

【例3】 某班有50个同学，求他们中间至少有两个人在同一天过生日的概率.

解 一个人的生日可以是365天中的任何一天，因此，第1个同学的生日有365种可能，第2个同学的生日也有365种可能，…，第50个同学的生日同样有365种可能.根据乘法原理，50个同学的生日共有（365）50种可能.

【例4】 在10到99的所有两位数中，任取一个数，试求这个数能被2或3整除的概率.

解 试验是在从10到99这90个两位数中任取一个，该试验共有90个样本点.

设事件A表示“取出的两位数能被2整除”，事件B表示“取出的两位数能被3整除”，则事件A+B表示“取出的两位数能被2或3整除”，而事件AB表示“取出的两位数能同时被2和3整除”.易知，事件A包含45个样本点，事件B包含30个样本点，而事件AB包含15个样本点.因此，取出的两位数能被2或3整除的概率为