概率的几何定义–从《概率论与数理统计》中获得新理解

古典概型要求试验的样本空间只含有限多个等可能的样本点.在实际问题中，若试验的样本空间有无限多个样本点，就不能按古典概型来计算概率，而在有些场合可借用几何方法来定义概率.

1.2.3.1 几何型试验

定义1.3 若试验具有下列两个特征：

（1）试验的结果为无限不可数；

（2）每个结果出现的可能性是均匀的；则称该试验为几何型试验.

这样，该试验的每个样本点可看作等可能地落入有界区域Ω上的随机点，因此，样本点有无限多个.

1.2.3.2 概率的几何定义

定义1.4 设E为几何型的随机试验，其样本空间中的所有样本点可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件A所包含的样本点，则称事件A发生的概率为

其中，L（Ω）与L（A）分别为Ω与A的几何度量.例如，当Ω是区间时，L（Ω）及L（A）表示相应的长度；当Ω是平面或空间区域时，L（Ω）及L（A）表示相应的面积或体积.

把利用上述关系式来讨论事件发生的概率的数学模型称为几何概型.

注意：上述事件A的概率P（A）只与L（A）有关，而与L（A）对应区域的位置及形状无关.(www.xing528.com)

【例7】 （候车问题）某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站候车时间不多于2分钟的概率.

解 设A={每个乘客候车时间不多于2分钟}.由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站，因此，每一乘客到达站台的时刻t可以看成是均匀地出现在长为5分钟的时间区间上的一个随机点，即Ω=[0，5）.又设前一列车在时刻T1开出，后一列车在时刻T2到达，线段T1T2长为5（见图1.3），即L（Ω）=5；T0是T1T2上一点，且T0T2长为2.显然，乘客只有在T0之后到达（即只有当t落在线段T0T2上时），候车时间才不会多于2分钟，即L（A）=2.因此，

图1.3

【例8】 （会面问题）甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？

解 这是一个几何概型问题.设A={它们会面}.又设甲、乙两船到达的时刻分别是x，y，则0≤x≤24，0≤y≤24.由题意可知，若要甲、乙会面，必须满足

图1.4

|x-y|≤2

即图1.4中阴影部分，由图1.4可知：L（Ω）是由x=0，x=24，y=0，y=24所围图形的面积，且S=242，而L（A）=242-222，因此

在一般的会面问题中，若两人相约在[0，T]时间间隔内会面，先到者等候时间t（t≤T）后即可离去，则两人能够会面的概率为

由此可见，若t很小，则P（A）很小，不易会面.若t较大，则P（A）较大，会面的可能性较大.实际问题中，可根据需要，适当约定等候时间t，以较大的把握达到会面或不会面的目的.