2016考研数学典型题660解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

（7）由

得

（8）由于

所以

（9）由于

所以，x→0时，α（x）是x的三阶无穷小.

（10）记，则，，…，，从而

（11）

（12）由题设知，从而，由此得.因此

（13）x=-1是f（x）的第二类间断点（无穷间断点）；

x=1是f（x）的第一类间断点（可去间断点）；

x=0是f（x）的第一类间断点（跳跃间断点）.(www.xing528.com)

（14）记y₁=x^sinx，则由lny₁=sinx·lnx得，所以

记，则由lny₂=tan²x·ln2得，所以，

因此，

(15)

（16）由于，

，所以e^2c=e，即

（17）f^（n）（x）=（x+n）e^x，f^（n+1）（x）=（x+n+1）e^x，f^（n+2）（x）=（x+n+2）e^x，由f^（n+1）（x）=0得x=-n-1.所以，f^（n+2）（-n-1）=e^-n-1＞0，所以f^（n）（x）的极小值为f^（n）（-n-1）=-e^-n-1.

（18）x＜0时，f′（x）=6（x+x²）；x＞0时，，此外f（x）在x=0处不可导.于是

方程f″（x）=0仅有根，且当时，f″（x）＜0；当时，f″（x）＞0.所以f′（x）有极小值

（19）记，则它在（0，1）内可导且

记，它在（0，1）内可导且

所以，对x∈（0，1），，从而f′（x）＜0.因此，即

（20）记，则它在（0，+∞）上可导且

即f（x）在（0，+∞）上的最大值为k.于是，当k＜0时，方程无实根；当k=0时，方程仅有一个实根；当k＞0时，注意到，知方程有两个实根.

（21）作辅助函数F（x）=x²f（x），则F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）（=0），所以，存在∈（0，1），使得F′（）=0，即f′（）+2f（）=0.

（22）由于bⁿ-aⁿ=nη^n-1（b-a）（η∈（a，b））.

所以，nη^n-1=n^n-1f（）+ⁿf′（），即