卡诺循环的制冷系数与冰箱实际制冷系数的关系分析

随着瓦特改进蒸汽机使热机的效率大为提高，人们对进一步提高热机效率的要求也日益迫切.法国青年工程师卡诺提出了一个理想循环，在他提出的循环过程中，工作物质只和两个恒温热源交换热量，这种循环被称为卡诺循环，按卡诺循环工作的热机叫卡诺热机.

卡诺循环是由四个准静态过程所组成的，其中有两个是等温过程，两个是绝热过程.卡诺循环对工作物质是没有规定的，为方便讨论，我们以理想气体为工作物质，如图8.5 所示.曲线12 和34分别是温度为T1 和T2 的两条等温线，曲线23 和41 分别是两条绝热线.作为工作物质的理想气体从状态1 出发，按顺时针方向沿封闭曲线12341 进行，这种正循环为卡诺正循环，又称卡诺热机.由于每个过程都做功，如果利用功进行计算比较麻烦，考虑到绝热过程不吸热的特点，这里利用热量来求热机效率.

图8.5　卡诺循环示意图

1→2 等温膨胀：气缸中的气体与温度为T1 的高温热源接触，等温地由体积V1 膨胀到V2，该过程中吸热为

2→3 绝热膨胀：气体绝热膨胀，体积由V2 增大为V3，温度由T1 降为T2.

3→4 等温压缩：气体与温度为T2 的低温热源接触，体积由V3压缩到V4，该过程中气体放热为

4→1 绝热压缩：气体绝热压缩，体积由V4 变为V1、温度由T2升至T1，完成整个循环.

根据热机效率的定义，卡诺热机的效率为

又由于2→3、4→1 均为绝热过程，根据绝热过程方程

整理可得

于是有

此即理想气体准静态卡诺循环的效率.要完成一次卡诺循环必须有高温和低温两个热源；卡诺热机的效率与工作物质无关，只与两个热源的温度有关，高温热源的温度越高，低温热源的温度越低，则卡诺循环的效率越高.

如果理想气体沿相反的方向进行循环过程，在一个循环中，系统从低温热源T2 处吸热Q2，向高温热源T1 放热Q1，外界对系统做功A=Q1-Q2，则这是一个制冷循环.该循环的制冷系数为以理想气体为工作物质的卡诺制冷机，高温热源温度T1 越高，低温热源温度T2 越低，制冷系数越小，表明从温度较低的热源吸取热量越困难，而当两热源温度越接近，低温热源温度越高，制冷系数越大.

例8.4　1 mol 氦气经过如图8.6 所示的循环，其中p2=2p1，V4=2V1，求在每个中间过程中气体吸收的热量，如果循环按照1→2→3→4→1 进行，求循环的效率.

解　由图8.6 可知：p2 =p3 =2p1 =2p4，V3 =V4 =2V1=2V2，根据理想气体物态方程可以分别求得状态2、3、4 的温度为

可见，在等体过程1→2 及等压过程2→3 中氦气分别吸热Q12和Q23；在等体过程3→4 及等压过程4→1 中分别放热Q34和Q41，对于单原子分子氦气，其CV，m=由式（8.10）和式（8.13），可得

图8.6　例8.4 用图

所以氦气经历一个循环吸收的热量之和为

氦气在此循环中放出的热量之和则为

如果循环按照1→2→3→4→1 进行，此循环的效率为

例8.5　一定量的某单原子分子理想气体，经历如图8.7 所示的循环，其中AB 为等温线.已知V1=3.0×10-3 m3，V2=6.0×10-3 m3，求热机效率.(www.xing528.com)

解　如图8.7 所示的循环由3 个分过程组成：

（1）A→B 为等温膨胀过程，ΔE=0，A>0，吸收热量

图8.7　例8.5 用图

（2）B→C 为等压压缩降温过程，ΔE<0，A<0，放出热量

（3）C→A 为等体增压升温过程，ΔE>0，A=0，吸收热量

由B→C 的过程方程知

且由题意知

所以有

又因单原子分子理想气体的定体摩尔热容故

于是在所讨论的循环中，系统从高温热源吸热

向低温热源放热

故热机效率为

例8.6　一台电冰箱放在室温为20 ℃的房间里，冰箱储藏柜中的温度维持在5 ℃.现每天有2.0×107 J 的热量自房间传入冰箱内，若要维持冰箱内温度不变，外界每天需做多少功？其功率为多少？设在5 ℃至20 ℃运转的冰箱的制冷系数是卡诺制冷机制冷系数的55% .

解　工作在高温热源T1=293 K 和低温热源T2=278 K 之间的卡诺制冷机的制冷系数

该冰箱实际的制冷系数为

由制冷机制冷系数的定义得

房间传入冰箱的热量Q′=2.0×107 J，平衡时Q′=Q2，保持冰箱在5 ℃至20 ℃运转，每天需做功

所以其功率为