08城堡黑格与白格的连通性分析

1.线段的极大值

考虑到线段的长度受限于盘面的大小，那么我们一般先从最大数入手。左图中3右侧只能画出长度为3的线段，我们可以直接画出。这一条线段画出后，提示2的上方只能画出两条线段了，因此这一列也可以确定。

右图中，通过提示2画出一条线段后，延伸线段形成回路，此时第一行已经有一条长度1的线段，余下格子不能形成线段。

2.线段的互斥与抽屉

我们来看下图中所示的结构。提示2的右侧最多有三个横向的路径，我们要从其中选两个。如果按下面左图的方式走线，我们会发现数字1的提示无法放入。这种结构叫作互斥。

进一步观察发现，提示2右边的3个可能位置，左侧两格最多仅有一条线段，因此右侧处必须有一条线。这就是抽屉原理，N条线段在N+1个可能位置中时，经常使用这一思路。

3.黑与白的性质

根据规则，黑框一定在回路外侧，白框一定在回路内侧，因此有如下左图所示的结论。

城堡的一个很重要的结论，就是黑格与白格之间，必定有奇数条线将内外两侧进行区分，常用的结构见右图。(www.xing528.com)

与之同理，同色之间必然只可能有偶数条线（包括0条），当黑格之间最多只能放入一条线时，则必定没有线。

4.回路的性质

利用回路的谜题，回路的性质都非常重要。后文中的数回谜题和珍珠谜题等都是回路类型的谜题，涉及回路性质的部分将不再赘述。

回路一般有两种性质，一种是延展性，另一种是连通性。延展性是指线条会进行延伸，例如下面左图的线条必定会延展成右图的结构，可以理解为线头要“走出去”，最终与自身闭合。

因为延展性，回路不能走到题目里的死角，下面左图中，我们可以叉掉一些路径，然后得到线索。

下面右图是另一个常见的情况，左上角区域一定是要经过的，这一部分的线头一定要延展出去，和右下角的线段连接。此时线段的两端必定从这一区域仅有的两个出口延伸出去。

连通性是防止回路提前闭合的一种性质。在下图中，我们对上文中的延展性图示进行了修改，在盘面的其余部分也有线段时，左上角的回路不能提前闭合，否则将形成不只一个回路。

另外的一些比较复杂的情况如下面两张图所示。在下面两张图中，如果线段往打叉的方向走，那么一定会形成提前闭合的回路。