枝向量行列式反馈环计算法的基本入树模型

反馈和延迟是造成系统动态复杂的根本原因，对系统反馈的分析是研究系统动态复杂的重要手段。对于复杂系统的反馈环计算，贾仁安采用枝向量行列式的计算方法，实现反馈环的代数计算，奠定了反馈环计算机辅助计算的基础。

(1)枝向量行列式反馈环计算法

定义2.1.4 枝向量：以流率基本入树T1(t)，

T2(t)，…，Tn(t)的枝中变量为元素，依次排列构成的向量(Ri(t)，±Aij(t))，Lj(t))或(Ri(t))，±Bij(t)，Rj(t))称为枝向量，其中Ri(t)为流率，Lj(t)为流位，Aij(t)，Bij(t) (i，j=1，2，…，n)为入树枝中的辅助变量依次排列的组合，其中±表示枝向量极性，为枝向量因果链极性的乘积，取+或-。规定：若Ri(t)为流入率，其极性为+；否则，极性为-。

定义2.1.5 枝向量乘法

定义2.1.6 入树模型T1(t)，T2(t)，…，Tn(t)的枝向量行列式为

定义2.1.7 反馈环的阶数指反馈环中所含流率及流位相关的树的数量。

定义2.1.8 将枝向量行列式的对角线上全部元素置1，其他元素不变，所得的枝向量行列式称为对角置1的枝向量行列式。

计算该行列式，得流率基本入树或流图模型中所有2至n阶反馈环。

枝向量行列式反馈环计算法通过图论与线性代数的完美结合，解决了系统动力学反馈结构分析过程中反馈环确定的难题，为反馈环计算提供了规范可行的方法，且整个计算过程可借助相关数学软件完成。(www.xing528.com)

(2)强简化流率基本入树模型

定义2.1.13 删除流率基本入树模型各树枝中的非重复辅助变量顶点，仍按原方向连成关联弧，这样简化得到的模型，称为原模型的强简化流率基本入树模型。

强简化流率基本入树的主要意义：①在不改变反馈基本结构的前提下，更加直观地考察系统内流位对流率的控制；②能够简化使用代数方法计算结构流图所有反馈环的过程。

(3)枝向量行列式反馈环计算全部反馈环的基本步骤

步骤1 首先由T1(t)，T2(t)，…，Tn(t)的根尾关联枝，求出Gn(t)全部一阶反馈环；

步骤2 写出由T1(t)，T2(t)，…，Tn(t)枝向量构成的对角置1的枝向量行列式；

步骤3 由行列式An(t)的计算，得到强简化流率基本入树模型二阶以上的所有反馈环，称为原流率基本入树的反馈环核；

步骤4 得到的反馈环核，补充强简化流率基本入树被删的非重复辅助变量，求出流图模型Gn(t)2阶至n 阶的所有反馈环。