带约束条件的热传导温度分布模型案例

1．问题与分析

建立数学模型，表达与分析带有约束条件的系统中，温度的分布状况规律，即每个点处的温度值满足的变化关系与规律．

2．模型假设

（1）系统内每点的温度值为u（x，y，z，t）．

（2）给出区域系统的边界上每个点处的温度数值．

（3）给出在区域边界；每个点处温度沿着特定射线方向的变化率，包括方向导数．

（4）给出初始时刻各个位置处的温度值分布．

3．模型建立与计算

1）第一类边界模型

（1）模型建立：假设满足物体开始各点的温度分布为

u(x,y,z,0)=φ(x,y,z)

物体在边界上各个时刻的温度分布为

u(x,y,z,t)|Γ=g(x,y,z,t)

即物体与外界接触部分的温度，就会源源不断地产生物体里面的温度分布，因此提出如下的边界条件模型：

这种形式的条件称为第一类边界条件，又称为狄利克雷（Dirichlet）边界条件．

（2）模型计算：可以利用数学计算软件中现成模块进行计算，也可以利用差分格式建立每个点位置和相应时刻相应的差分方程进行计算，可以获得离散近似解的形式．此处具体的差分格式形式省略．

2）第二类边界条件模型

（1）模型建立：假设满足在物体表面每个时刻的热量的流速，即在物体表面各点处单位面积上单位时间内流过物体的热量为，则根据傅里叶定律有

所以

这就是热传导方程的第二类边界条件，又称为诺依曼（Neumann）边界条件．这里表示温度分布数值u在边界Γ上的单位外法线方向n的方向导数，而g（x，y，z，t）是定义在（x，y，z）∈Γ，0≤t≤T上的已知函数．

所以第二类边界条件模型即热传导温度分布模型为

（2）模型计算：可以利用数学计算软件中现成模块进行计算，也可以利用差分格式建立每个点位置和相应时刻相应的差分方程进行计算，可以获得离散近似解的形式．此处具体的差分格式形式省略．(www.xing528.com)

3）第三类边界条件模型

（1）模型建立：假设满体放置在某种介质中，与物体接触位置的介质的温度为u1，物体表面本身的温度是u，产生热量的流动为dQ=k1（u-u1）dSdt，其中k1是热交换系数．

根据物体实际的温度分布，产生的流向物体内部的热量是这是根据流动产生的结果数值得到的，因此得到流过物体表面Γ的热量产生的温度平衡模型：

可化为

进一步化为

再化为

这就是第三类边界条件．这里是温度u沿着边界曲面Γ的单位外法线方向n的方向导数；g（x，y，z，t）是定义在（x，y，z）∈Γ，0≤t≤T上的已知函数；σ为已知正数．

所以第三类边界条件模型如下：

（2）模型计算：可以利用数学计算软件中现成模块进行计算，也可以利用差分格式建立每个点位置和相应时刻相应的差分方程进行计算，可以获得离散近似解的形式．此处具体的差分格式形式省略．

4）柯西问题模型

（1）模型建立：假设物体占有很大的空间位置，如果只需要考虑较短时间和较小范围的温度变化，则可以忽略边界条件，仅需知道：

u(x,y,z,0)=φ(x,y,z)，-∞＜x,y,z＜+∞

这个边界条件称为柯西问题初值条件．所以柯西问题模型如下：

（2）模型计算：可以利用数学计算软件中现成模块进行计算，也可以利用差分格式建立每个点位置和相应时刻相应的差分方程进行计算，可以获得离散近似解的形式．此处具体的差分格式形式省略．

5）特殊形状物体的热传导模型

（1）模型建立：假设物体是均匀的细杆，侧面是绝热的，不产生热交换，并且同一个截面的温度分布是相同的，则根据物体内部的温度分布规律，满足如下的一维热传导方程

假设物体是薄片，薄片的侧面绝热，则满足如下的二维热传导方程：

（2）模型计算：可以利用数学计算软件中现成模块进行计算，也可以利用差分格式建立每个点位置和相应时刻相应的差分方程进行计算，可以获得离散近似解的形式．此处具体的差分格式形式省略．

4．建模方法点评

本案例利用已经建立的带有热传导过程的温度值分布模型，增加考虑对于特殊位置包括边界在内的及特殊时刻的温度值的条件，从而能够建立比较全面地反映温度数值具体分布的状态、特点及规律属性的模型．