传导方程建模方法-数学模型建模方法及其应用

1．问题与分析

建立空间某个物体的热传导过程中，每个位置处的温度变化过程的数学模型．

2．模型假设

（1）假设空间物体占据位置为Ω；

（2）建立空间直角坐标系Oxyz；

（3）在时刻t，在物体G中的位置（x，y，z）处物体的温度是u（x，y，z，t）．

3．模型建立与计算

1）通过微曲面温度变化与热量传递的关系模型

物理定律模型：传热学中傅里叶实验定律表明，一个物体在很小的时间段内沿着内法向方向n流过一个微小曲面dS的微热量dQ与物体的温度沿着曲面dS的法线方向的方向导数成正比，即有

式中，k（x，y，z）是在点（x，y，z）处的热传导系数，是一个比值；由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ和异号．

这实际上表明，在一个小的时间段内，不同位置的温度不同，导致发生热量流动，分析的对象是选取任意的过点（x，y，z）的小的曲面dS，那么流过曲面的热量值，等于温度沿法线方向的导数值乘以面积、时间长度和热传导系数．由于时间很短，方向导数只是考虑了开始时刻的导数值．

2）通过封闭曲面热流量的平衡模型

（1）无热源的平衡模型：假设物体G中任取一个封闭的曲面Γ，其所包围的空间区域为Ω，则在[t1，t2]内流进闭曲面内部的热量为

式中，表示温度分布u（x，y，z，t）沿Γ单位外法线方向n的方向导数．这个关系成立的基础是在物体G的表面上产生了热量，即表面的温度在发生变化，并且这个变化能够传导到物质的内部，这个温度应该是已知的，至于是如何产生的，可以有不同的机理．

根据记录的温度数据，在时间间隔[t1，t2]中，区域G内每一点的温度产生的变化值为u（x，y，z，t2）-u（x，y，z，t1），这是吸收热量产生的．在这一点附近单位体积的小区域内吸收的热量为(www.xing528.com)

c(x,y,z)ρ(x,y,z)[u(x,y,z,t2)-u(x,y,z,t1)]

式中，c是比热；ρ是密度．根据三重积分的定义可知，整个区域G吸收的热量为

因此，

注意：该热量是由物质各个部分的温度值决定的，只要整个物质每个时刻的温度是已知的，就能计算出热量值，至于这些热量来自何处则不需要考虑．

再根据高斯公式，得

交换积分顺序，进一步得到下面的积分结果：

实际上，这个物质G可以选取任何一个小的区域和任何一个时间段来计算，因此上面的等式在任何空间小区域和时间段上都是成立的，因此得到局部任何一点处的数量关系为

这就是温度分布模型．只要有温度差异，就会产生热量的流动传递．

进一步，如果物体是各向同性的、均匀的，则k，c，ρ都是常数，方程可化为

从而得到标准的热传导方程．

（2）模型计算：可以利用数学计算软件中现成模块进行计算，也可以利用差分格式建立每个点位置和相应时刻相应的差分方程进行计算，可以获得离散近似解的形式．此处具体的差分格式形式省略．

4．建模方法点评

本案例利用微小元素分析建模方法进行建模．首先选定分析对象适当的微小形式部分，利用物理原理，以及产生现象的来源数据进行计算，建立相关数值的计算模式，然后利用相关数值的记录结果进行相应计算，最后使二者相等，得到微分方程模型．