均匀薄膜的横振动模型：案例4+数学模型建模方法及其应用

1．问题与分析

现有一个柔软的均匀张紧的薄膜，静止薄膜的位置所在的平面记作xy平面，分析计算膜上各个点的横向位移规律，即垂直于膜的方向上的运动或离开各自静止状态的距离的坐标值的数值规律，也就是在不同的时刻具体的位置或移动的数值．

2．模型假设

（1）建立坐标系xOy，以表示膜上点的位置；

（2）膜上的张力大小为T；

（3）膜上的点离开平衡位置的位移为u（x，y，t）；

（4）膜的质量密度为ρ．

3．模型建立与计算

1）基本数据关系模型

在膜上取一个部分，将薄膜分为许多极小的小块．在建立坐标系的区域上，取对应于[x，x+dx]×[y，y+dy]的一块，分析计算它的位置数据的变化规律．

对于x和x+Δx对应的两边，相应的小膜块受到临近部分的张力作用，张力沿着坐标方向的横向分力分别是也就是说是固定的张力到处都是T，但是在不同的方向上要进行分解，有方向就存在正负关系，与坐标轴的方向相同取正值，方向相反取负值．

沿着坐标轴方向的分力大小一般都是张力乘以夹角的正弦，如果相应的夹角很小，就可以将正弦近似为正切，正切就可以用导数近似，即曲线上纵坐标关于相应方向上的距离的比值的极限，这就是方向导数．具体方向就是薄膜所在的曲面上，沿着相应方向上的曲线的切线方向．

对于x和x+Δx对应的两边，作为代表的小模块单位长度上，横向受到的合力近似表示是

同理，在区域小块的另一面上，受到的合力就是

TuyyΔxΔy(www.xing528.com)

用ρ表示单位面积上薄膜的质量，则根据牛顿运动定律得到在这个小块上，振动过程的位移函数u（x，y）满足的基本关系为

ma=ρuttdxdy=Tuxxdxdy+Tuyydxdy=F

式中，ttu表示的是在这个薄膜的对应点（x，y）处，横向位移关于时间的二阶导数，表示具体的这个点的运动过程，就是位移的二阶导数，即加速度．从而得到薄膜上点的位置坐标u（x，y，t）满足的微分方程模型：

ρutt-Tuxx-Tuyy=0

这就是薄膜的微小振动方程，给出了在每个时刻，任意一个位置附近的纵向振动距离的数值关系．

2）模型计算

如果进行离散近似，就要形成关于3个变量的划分网格，即3个小区间组成的组合．

在一个代表点（xi，yj，tk）处，进行固定与变化的求解，就是

每一个节点都有这样一个方程，都有一个对应的线性方程组．可以设定某种迭代关系，即构造所有未知数的分类层次，每一层次是某个指标前后的顺序迭代，或集中形式．然后进行迭代计算，从某个初始位置开始进行代入计算．

在薄膜边上，或任意一个位置的函数值关系、导数关系、高阶导数关系都对应着相应的几个点的函数值的关系．将方程进一步简化为

utt-a2Δ2u=0

式中，算子．

4．建模方法点评

本案例利用微元素方法进行建模，任意选取了薄膜上的一个微小部分，通过对其进行相关的受力分析和力的计算，利用力学定律，借助薄膜的曲面方程形式，计算出微小薄膜部分受到的力的大小和方向，进而利用力的平衡关系，建立位移变量取值相应的微分方程模型．