数学模型应用：带约束弦振动模型案例

1．问题与分析

根据弦的两端不同的约束形式，分别建立相应的微分方程定解模型，分析弦上点的运动规律．

2．模型假设

（1）给出在弦的两端任意时刻的位移值；

（2）给出在每一个位置点处开始时的速度；

（3）给出在两个端点处开始的时候两段是水平切线状态；

（4）弦上每点离开平衡位置的位移是u（x，t）．

3．模型建立与计算

（1）假设长为L的弦在x=0，x=L端固定，并且在初始时刻t=0任意点处的速度为0，初始时刻两端有水平切线，则用位移函数的变化关系表示为

进而得到定解模型如下：

定解条件为

可采用微分方程的差分格式，化为差分方程进行计算．

（2）假设长为L的弦在x=0端固定，在x=L端是自由的，并且在初始时刻t=0处于水平，位移的速度是x（L-x），建立每点处的运动方程的定解问题．

根据假设可知，弦做自由无外力的横向振动，一般的方程为

在弦的两端，一端是固定的，则u（0，t）=0；另一端是自由的，意味着张力为0，而在每个位置处沿着运动方向的张力为(www.xing528.com)

分析初始的条件：开始时，弦处于水平状态，所以u（x，0）=0，每个位置x处的速度函数是x（L-x），所以从而得到定解问题模型：

方程的差分计算格式如下：

可以化为迭代格式，固定n，计算出全部的，再逐个计算出所有的n对应的，从而计算出每个点函数值的近似值，即．

（3）假设在初始时刻，弦的位置是u（x，0）=φ（x），每个位置的初始速度是在两端的位移函数是

则定解模型是

利用差分方程近似上述偏微分方程的步骤如下．

步骤1　对求解区域0≤x≤L，t≥0进行矩形网格划分，在x轴上用步长等分区间[0，L]，再对时间按照间隔步长Δt进行划分，得到划分网格，网格线的交点是（xj，tn）=（jΔx，nΔt），称为网格节点．

步骤2　用

进行差分替代，得到差分方程组：

记则上述方程组可集中化为：

步骤3　按照上述方程，就能计算出各个数值．可以先固定n，再利用关于j的差分方程进行迭代计算，逐个计算出每个n对应的函数值．

4．建模方法点评

弦的横向振动分析，利用了弦上每个点处离开平衡位置的位移变量，记录了运动过程．通过受力分析，利用牛顿运动定律，建立了加速度（位移函数的二阶导数）与受到的张力的合力的关系，而张力又可以通过位移函数形成的位置曲线的切线的斜率进行分解计算，进而建立了横向振动的加速度与纵向位置变化的数值关系，即位移函数的关于坐标x的变化关系，从而形成了全面描述位移函数变化的数值关系的基本方程形式，这是一个偏微分方程．