核废料处理的数学模型应用

1．问题与分析

将放射性核废料密封装在圆桶里扔到水深约91 m的大海中．科学测试表明，如果圆桶到达海底的速度超过12.2 m/s，圆桶就会因碰撞而破裂．现在根据有关数据计算圆桶到达海底的速度．

2．模型假设

（1）圆桶受到的重力是常数W，海水的质量密度是1025.94kg/m3，圆桶的体积是V，圆桶的质量为m．

（2）圆桶下沉时的阻力：大量的反复的实验表明，下沉时圆桶受到的阻力与圆桶的位置无关，而与下沉的速度成正比，比例系数是k=0.12．下沉时圆桶受到的阻力为（这是根据经验数据归纳计算的结果）．

（3）建立坐标系表示整个下沉过程的环境、有关的长度数量等：x轴方向沿着海平面，垂直向下的方向为y轴正方向．

（4）在任何时刻t，圆桶运行的路程是y=y（t）（这个变量是圆桶下降过程中的关键数据，记录了圆桶运动过程的关键数据信息，是计算其他相关数据的基础）．

（5）海水的浮力为B=1025.94V．

3．模型建立与计算

根据牛顿第二运动定律得到微分方程及初值问题：

解法1：利用二阶可降阶微分方程的计算方法．

令，进一步得

计算得

即

所以

根据y（0）=0，得(www.xing528.com)

所以

所以

再根据海底实际的深度H，计算出圆桶到达海底的运动时间，这里需要求解一个代数方程

可以采用数值计算的方法求得运动时间，并进一步求出到达海底的运动速度．

为了更方便地进行分析计算，还可以通过如下变量替换的方法建模计算．

解法2：通过变量代换，建立速度与运行距离y的关系．变量y的取值能够反映圆桶的位置，从而能够表示海底的状态．

令则

从而得到一阶方程初值形式的问题：

分离变量并积分，得

根据初始条件，得

所以变量的通解为

所以当y=91 m时，可以求出v．

4．建模方法点评

本问题利用了牛顿运动定律，建立了圆桶在海水中下沉时的基本运动规律，特别是对运动过程中受到的阻力进行分析．本案例没有进行具体的摩擦力分析，而是直接通过经验数据分析，建立了阻力与速度的关系规律，建立了既符合实际而又便于模型计算的受力分析模型，这是一个非常典型的运动规律分析模型，可用于类似的各种环境下的对象之间相互影响程度的量化规律分析．