通风模型建模：化工车间实例分析

1．问题与分析

在化工生产过程中，经常要排出一些不利于环境的物质．为了保持车间的环境卫生，需要新通入大量的新鲜空气，如何设计排出和新通入的问题就是通风问题．如果需要在一定的时间内通过通入新鲜空气，使车间内的CO2含量不超过某个比例，那么应如何通入新鲜空气？

2．模型假设

（1）引入关于时间的函数y（t）：调整的过程中，在时刻t时，空气中的CO2的浓度（这是记录刻画整个通风过程状态的关键变量）；

（2）单位时间内通入的空气数量a：m3/min；

（3）车间的体积v；

（4）初始时CO2的浓度y0；

（5）新鲜空气中的CO2浓度g；

（6）空气的排出量和进入数量总量是一样的．

具体案例数据：v=10800，t=10，y=0.0006，y0=0.0012，g=0.0004，求在开始通入新鲜空气的10 min内，要使CO2含量浓度达到y=0.0006，需要通入的空气数量a．

3．模型建立与计算

这里存在着这样的关系：一定时间内进入的CO2数量和排出的CO2数量，两者的差就是自身记录的CO2数量的变化值．

为了求出新鲜空气的通入量，需要建立模型，求出已知单位时间内新通入的新鲜空气数量，以及车间内空气中CO2的浓度含量依时间t的变化规律y（t）．现在选取任意一段时间[t，t+dt]，分析在这段时间内空气中CO2的变化过程．

根据题设条件，在任意一段时间间隔[t，t+dt]中，进入车间的CO2为agdt；离开车间的CO2为avdt．(www.xing528.com)

根据记录量y，有关系式vdy=agdt-aydt，即

这样就建立了变量y（t）满足的微分方程模型，是一阶微分方程模型．

分离变量，得

进一步求得

这就是车间内的CO2的浓度关于时间t的函数．根据这个结果，求得

将有关的具体数值

v=10800，t=10，y=0.0006，y0=0.0012，g=0.0004

代入上述模型中，得

a=1500(m3/min)

因此，如果通入空气的数量为a=1500（m3/min），则在10 min后，空气中CO2的含量降到0.06%．

4．建模方法点评

本模型的建立使用了微元素分析的方法，通过针对一个任意选定的时间段，计算在这个时间段内车间内CO2的含量变化近似值，本案例建立了这个数量的记录数据变化值与它实际产生的数量的等值关系，构建了微分方程模型．