数学模型建模方法及其应用：综合评价分析模型

1）综合评价分析模型

综合评价分析模型是对事物过程和系统进行特征评价的模型，属于方法类模型，可以利用灰色评价、层次分析评价、模糊评判等评价方法进行综合评价．针对实际问题，需要设立特定的评价指标进行评价，这个指标可以是具体事物的数值、具体过程的数值、具体某个时刻的数值、具体某个组成部分的数值、具体某个时间间隔的数据、具体某个整体的数据等．综合评价需要进行主观和客观的结合，一方面要深入全面挖掘需要进行评价的对象的各种属性数据，包括本身拥有的数据或与之相关的事物对象的数据，并对这些数据进行特定方式的计算，获得刻画对象的综合数据指标；另一方面，要结合人的主观感觉感受，将同一个对象、过程或状态获得的不同程度的感受予以量化，从而形成量化的评价指标．

2）0-1变量组合选择模型

0-1变量组合选择模型指的是，对于变化过程或事物系统，通过引入0-1变量而构建的数学模型．这个模型可通过0-1变量的取值组合来实现从众多的可能性中进行选择．常用的方法是，首先用0和1对每个个体进行标号．如果标号是0，表示这个个体没被取到；如果标号是1，则表示这个个体被取到了．然后用0和1去乘这个个体的数值指标，就会直接显示是否选择到这个对象．

为了表示我们关心的对象及需要选择的特定组合范围，就要详细列出其对应的所有可能的0-1搭配的集合，并将这些组合看成某个方程组或者不等式的解，同时也要构造适当的、由这些0-1变量及其他相关变量构成的方程组或者不等式，作为约束条件．这些方程组、方程或不等式的解的集合，就是满足我们需要的条件的集合．0-1变量组合选择模型在优化模型及概率模型中有着广泛的应用．

3）差分模型

差分模型是建立多个时间段上的数量关系的模型．这个模型也是常用的模型之一，可用来分析计算多个时间段、多个相继存在的个体、多个相继时刻上等有关数值关系和规律的模型．

常用的差分分析方法：考虑每个时段上新发生的、新出现的量；考虑上个阶段以及之前的若干阶段上出现的量；考虑相邻的上个阶段留下的量，以及本阶段结束以后留下的量，分别用适当的变量表示每个阶段及阶段结束后保留的量，然后建立他们之间的关系式．这些关系式往往表现为，本阶段新增加的量就是上个阶段剩下的量，再加上新产生的量，就等于本阶段消耗的量加上余下的量，这样就会建立对应于每个阶段都成立的递推关系，从而形成差分关系形式．

例如，在描述一辆公交车在一个运行周期中的有关数量及关系时，就要考虑在每个车站，到达车站时车上的人数、新上车的人数、下车的人数、车离开车站时车上的人数、车上的空位数、车站上原来的人数、离开时还剩下多少人、车来时等车的人中已经等了n辆车的人数、离开的时候剩下的人中等候m辆车的人数等，实际上考虑的是一个时间段上，这个车站上的各种数量的计数结果，就是选定这个车站进行的数量记录和分析．

4）数据预测模型

数据预测模型是一种非常重要的数据分析与处理模型，可用于对变量在未来某个时刻或时间段内的取值进行预测分析和计算．数据预测模型包括：①灰色预测模型：是利用有限数据进行预测的方法；②时间序列预测分析：是属于数理统计模型，有一套更加完整科学的分析预测方法，比灰色预测系统完整；③差分方程预测模型；④神经网络方法预测等．数据预测模型的本质就是建立一种合理的计算方法，来计算未来某个时刻某个变量可能的取值大小．计算的方法多种多样，可以是基于已经发生的数据的经验公式，也可以是基于事物发生的机理分析，对影响决定这个变量状态的因素进行预测分析，再通过回归模型计算这些影响因素决定和影响目标变量的近似公式，从而得到变量取值的预测．必要的时候还需要考虑预测计算公式的修正方式．

5）回归分析模型(www.xing528.com)

回归分析模型是建立函数关系的模型，其基本的关系形式是多元线性模型，一般的形式是多元回归模型．回归分析模型也属于数据关系拟合模型，且有一套非常完整的回归分析模型的建立方法，包括拟合关系设定、线性化、最小二乘原理、合理性检验、关系修正、回归预测等．

非线性模型的线性化是回归建模的重要方法，可以通过各种变量代换，将原来因素变量的函数形式看作一个新的独立变化因素，或者对目标数值变量取对数，将乘积形式的数量表示为求和形式的变量形式，或者利用多元函数的泰勒展开公式，用多元函数的全微分模型作为主要的近似形式，就会形成线性回归模型．

线性回归模型是回归模型的基础，一般的非线性回归模型可以通过变量代换及泰勒展开等方式化为线性的计算关系模型，然后建立相应的线性回归模型．因为任何多元函数在自变量的某个局部范围内都可以用它的全微分形式近似表示，而全微分是关于自变量的线性函数形式，即属于线性回归模型．

6）主成分分析模型

主成分分析（principal component analysis，PCA）模型指的是，在实际问题中，为了全面分析解决问题，往往提出很多与目标有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个问题的某些信息．主成分分析模型就是将多个变量通过线性变换，以选出较少个数的重要变量的一种多元统计分析方法，又称主分量分析．主成分分析首先是由K.皮尔逊对非随机变量引入的，然后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形．

7）微元分析模型方法

微元分析模型方法是对连续变量进行计算分析的重要方法，也是微积分方法的核心．微元分析模型方法的使用方式：首先选取总量的某种形式的一个部分量，对其进行某种指标的近似计算，近似的方式取决于对事物系统等的近似形态，如以直代曲、以匀代变等，并且要用某些变量的改变量进行计算，计算的结果是变量增量的线性主要部分的计算形式，实际上就是微分形式．然后将微分进行积分得到总量．

微元分析法还用来建立微分方程．分析在若干变量发生微小变化时，这些变量之间的相互关系，建立相应的等式，进而建立微分方程．这是建立微分方程模型的核心方法．

8）分类模型

如果需要对某些事物进行分类研究，进一步判断出某个体属于哪种类型，就需要建立判别分析模型，即分类模型．判别分类模型的基本方法是模糊判别、聚类分析等．建立分类对象之间的距离指标是进行科学分类的基础，这种距离有多种形式，有的需要考虑计算与之相关的其他内容的变量与成分等．